Критерий Коши. Необходимое и достаточное условие существования конечного предела.

 1) К. к. сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) х _n, n=1, 2,..., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех выполнялось неравенство

К. к. сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрич. пространства.

Последовательность точек {х _п} полного метрич. пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого существует такое N, что для всех выполняется неравенство

2) К. к. существования предела функций n переменных Пусть функция f определена на множестве Xre-мерного пространства Rⁿ и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, а -предельная точка множества X(или символ бесконечность, в этом случае множество X неограничено). Конечный предел существует тогда и только тогда, когда для любого найдется такая окрестность U=U(a). точки а, что для любых и выполняется неравенство

Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть X – то пологич. Пространство, а - его предельная точка, в к-рой выполняется первая аксиома счетности, Y - полное метрич.пространство и f - отображение Xв Y. Для того чтобы существовал предел

 необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала окрестность U=U(a).точки а такая, что для всех выполнялось неравенство

3) К. к. равномерной сходимости семейства функций. Пусть X - некоторое множество, Y - топологич. пространство, удовлетворяющее в предельной точке первой аксиоме счетности, R- полное метрич. пространство, f(x, у).- отображение множества Семейство отображений f(x, у),отображающих при фиксированном множество Xв Я, является равномерно сходящимся на Xпри если для любого существует такая окрестность U=U(y₀).точки y₀, что для всех и всех выполняется неравенство

В частности, если Y - множество натуральных чисел и то последовательность равномерно сходится на множестве Xпри тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех номеров и выполняется неравенство

4)К. к. сходимости ряда: числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех и всех целых выполняется неравенство

Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости наз. критерием Коши- Штольца. Напр., для того чтобы двойной ряд

сходился по прямоугольным частичным суммам

необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое N, что при всех и всех целых выполнялось неравенство

Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов).

5) К. к. равномерной сходимости ряда: пусть - функции, определенные на нек-ром множестве Xи принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд

равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что для всех целых выполнялось неравенство

Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены к-рыхпринадлежат банаховым пространствам, т. е. когда и _п (х).являются отображениями множества Xв нек-роебанахово пространство.

6) К. к. сходимости несобственных интегралов: пусть функция f определена на полуинтервале принимает на нем числовые значения и при любом интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке [ а, с]. Для того чтобы несобственный интеграл

сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое что для всех удовлетворяющих условию выполнялось неравенство

Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция f зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве.

7) К. к. равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция f(x, у).при каждом фиксированном где Y - некоторое множество, определена на полуинтервале принимает числовые значения и при любом интегрируема по хна отрезке [ а, с]. Для того чтобы интеграл

равномерно сходился на множестве У, необходимо, и достаточно, чтобы для любого нашлось такое что для любых удовлетворяющих условиям и всех выполнялось неравенство

Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения к-рых лежат в банаховых пространствах.

 

Теорема о представлении функции, имеющей предел:

Для того чтобы число А было пределом функции f(x) при x®x₀ , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки x₀ f(x) была представима следующим образом: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при.

Док-во:

Необходимость. Пусть

Þ" >0 $ d>0: из |x-x₀| <d следует неравенство |f(x)-A| <.

Это неравенство означает, что f(x)–A=a(x) ‒ б/м при x®x₀ (по определению б/м). Отсюда f(x)=A + a(x).

Достаточность. В некоторой окрестности точки x₀ функция представима в виде: f(x) = A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀. Þ a(x)=f(x)–A – б/м, то есть по определению: " >0 $ d>0 из неравенства |x-x₀| <d Þ|f(x) – A|<.

 

 

 

22.Эквивалентные последовательности. Свойства эквивалентных последовательностей.