Предел комплексной последовательности.

Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел {zn}, если для любого
E> 0 существует такой номер n, что для всех n > n_E   выполняется неравенство
|zn - z0| < E.
В этом случае пишут  zn = z0 и говорят, что последовательность {zn} сходится к числу z0.
Таким образом, по форме это определение совершенно такое же, как для предела последовательности действительных чисел, однако геометрический смысл его иной: на комплексной плоскости неравенство
|zn - z0| < E задает открытый круг (т. е. круг без ограничивающей его окружности) радиуса E с центром в точке z0. Этот круг называется E -окрестностью (или, короче, окрестностью) точки z0; будем его обозначать
U = U(z0,E).
Условие  zn = z0 означает, что, какова бы ни была окрестность U точки z0, найдется такой номер n0, что все члены последовательности {zn} с номерами, большими n0, будут содержаться в этой окрестности (рис. 57). Тем самым вне этой окрестности будет находиться только конечное множество членов рассматриваемой последовательности.
Существование предела  zn = z0 в силу самого определения предела равносильно существованию предела
 |zn - z0| = 0, (5.96)
т. е. сходимости к нулю последовательности действительных чисел |zn - z0|, n = 1, 2,...
Если zn = xn + yni, z0 = x0 + y0i, xn, yn, x0, y0 R то

     (5.97)
и, следовательно,
|xn - x0| < |zn - z0|, |yn - y0| < |zn - z0| (5.98)
Из соотношений (5.97), (5.98) следует, что условие   |zn - z0| = 0 равносильно условиям
xn = x0, yn = y0. Это означает, что последовательность комплексных чисел zn = xn + yni, n = 1, 2,..., имеет своим пределом число z0 = x0 + y0i в том и только том случае, когда последовательности действительных {xn} и мнимых {yn} частей членов последовательности {zn} имеют своими пределами соответственно x0 и y0.
Последовательность {zn} комплексных чисел называется ограниченной, если ограничена последовательность действительных чисел {|zn|} (т. е. если ограничена последовательность абсолютных величин членов данной последовательности). На последовательности комплексных чисел обобщаются многие предложения, доказанные для последовательностей действительных чисел. Так, если последовательность комплексных чисел имеет предел, то он единствен; всякая последовательность комплексных чисел, имеющая предел, ограничена; из всякой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся; для последовательностей комплексных чисел имеет место аналог критерия Коши сходимости последовательностей действительных чисел; переносятся на последовательности комплексных чисел и свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Все это следует, например, из того, что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей их действительных и мнимых частей.

24. Предел и непрерывность функции. Окрестность и ее свойства. Аксиома отделимости Хаусдорфа. Проколотые окрестности.

25. Предельная точка множества. Теоремы Больцано - Вейерштрасса (без доказательства) о выделении конечного покрытия (без доказательства). Предел функции.

26. Определение предела функции по Гейне. Теорема об эквивалентности определений.

27. Односторонние пределы. Теорема о локальности функции имеющих предел.

30. Теорема о связи функции имеющей предел с бесконечно малой. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.