Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

       Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и  выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

      Определение убывающей функции.

       Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и  выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

       ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

Точки экстремума, экстремумы функции.

       Точку  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

       Точку  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

       Под окрестностью точки  понимают интервал , где  - достаточно малое положительное число.

       Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

       Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

       На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

       Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

                       

●                    если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

●                    если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.    

       Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

                       

●                    найти область определения функции;       

●                    найти производную функции;           

●                    решить неравенства  и  на области определения;            

●                    к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.