Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Бесконечный предел последовательности
(всё то же, что и в случае конечного предела. Не будут справедливы теоремы 2-4 выше. В этом случае подразумевается, что последовательность ограничена в условиях бесконечного предела. Звучит и является бредом, однако без условий ограниченности невозможно говорить о существовании предела)
Бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности.
Свойства пределов связанных с арифметическими операциями над последовательностями.
15. Теоремы об ограниченности обратной последовательности, о связи между пределами сходящейся и бесконечно малой последовательностей. [1] Теорема (это ко второй части билета) Пусть {an} — сходящаяся последовательность и Тогда an = A + αn, где αn — б.м.п.
Доказательство Пусть αn = an − A. Тогда ∀ ε > 0 ∃ nε: ∀ n > nε → |αn| = |an − A| < ε.
(суть какая: берем сходящуюся(то есть последовательность, у которой есть предел А) и из нее делаем новую альфа-последовательность через an = A + αn это и будет связь между бмп и сходящейся(в доказательстве просто говорим, что для любой окрестности мы получим альфа-последовательность, лежащую в этой окрестности))
16. Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь бесконечно малой с бесконечно большой последовательностью. 17. Теоремы об умножении сходящихся последовательностей и о делении сходящихся последовательностей. 18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах. 18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах. Признаки существования предела: Теорема(о двух милиционерах) Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями и, т.е. выполняется неравенство "х, причем эти функции имеют одинаковый предел при, то существует предел функции y=f(x) при, равный этому же значению. Переход к пределу в неравенствах. Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b). Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана. Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если, то xn > 0, однако. Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: В самом деле, элементы последовательности {yn - xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел. Отсюда следует, что Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте. В самом деле, так как a ≤ xn ≤ b, то a ≤ c ≤ b. Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях. Теорема. Пусть {xn} и {zn} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn} удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел a. Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {yn - a} является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xn - a ≤ yn - a ≤ zn - a. Отсюда следует, что при n ≥ N* элементы последовательности {yn - a} удовлетворяют неравенству
|yn - a| ≤ max {|xn - a|, |zn - a|}. Так как и, то для любого ε > 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n ≥ N1 |xn - a| < ε, а при n ≥ N2 |zn - a| < ε. Пусть N = max{N*, N1, N2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |yn - a| < ε. Итак, последовательность {yn - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.
19. Предел монотонной последовательности. Неперово число (число е).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-25; просмотров: 230; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.125.188 (0.006 с.) |