Принцип минимального числа. Принцип математической индукции.

Операции над множествами.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

 

 

 2. Числовые множества. Числовая прямая. Основные числовые промежутки.

Числовые множества -множества элементами которых являются числа.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: ▪ число — отношение длины окружности к её диаметру; ▪ число — названное в честь Эйлера и др.; Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Числовая ось, или числовая прямая — это бесконечная прямая, на которой выбраны:

● некоторая точка O — начало отсчета;

● положительное направление, указанное стрелкой;

● масштаб для измерения длин.

Таким образом числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам.

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

● название числового промежутка,

● отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,

● обозначение,

● и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Виды числовых промежутков:

1.открытый луч

2.луч

3.интервал

4.полуинтервал

5.отрезок

Неравенство Бернулли.

Для x ≥ -1 имеет место неравенство: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx, n ∈ Z ⁺.

 

Доказательство

 

Докажем с помощью метода математической индукции.

1. База индукции.

Для n = 0 имеем 1 ≥ 1.

База проверена.

2. Переход.

Пусть для некоторого k ∈ N имеет место

(1 + x)^k ≥ 1 + kx;

Докажем, что (1 + x)^{(k + 1)} ≥ 1 + (k + 1)x;

Исходя из перехода:

(1 + x)^{(k + 1)} = (1 + x)^k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) ≥ 1 + kx + x + kx² ≥ 1 + kx + x = 1 + (k + 1)x.

Переход доказан, а значит и все утверждение верно. Что и требовалось доказать.

 

Отметим, что равенство достигается в следующих случаях:

● при любых x ≠ -1, n = 0, n = 1;

● x = -1, любые n ≠ 0.

 

 

 

 

 

Ограниченные множества.

 

Множество  называется ограниченным сверху, если , то есть все элементы множества  лежат левее .

Множество  называется ограниченным снизу, если , то есть все элементы множества  лежат правее .

 

Множество  называется ограниченным, если .

 

 Верхняя и нижняя грани множеств.

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет наименьшая из них. Число называется точной верхней гранью (границей), если:

 для

 для  (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 ( — супремум ).

Число  называется точной нижней гранью (границей), если:

 для

 для  (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 ( — инфимум ).

(если множество   неограниченой сверху, то пишем если множество   неограниченой снизу, то пишем )

Примечание: если  не является точной верхней гранью множества   и , тогда

если  не является точной нижней гранью множества   и , тогда

 Теорема Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b]. Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b], что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b]: limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)). С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlimk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)), но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]), c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R. Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b], чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d). Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0. Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x). ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0), поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b]ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M), отсюда имеем f(x)≤d−1M<d. Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b], такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.

 Абсолютная величина.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины - это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль - это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

 

 

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

 

Абсолютные величины, виды:

● Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,

● Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

 

 

 

 8. Метрические и арифметические пространства.

Метрическое пространство - это пара (  ), Состоящая из некоторого множества  элементов и расстояния  , Определенной для любой пары элементов этого множества.

Формальное определение

Метрическим пространством называется пара  , Состоящая из некоторого множества элементов  и расстояния  , А именно однозначной, неотъемлемой, действительной функции  , Определенной для  , Которая удовлетворяет следующие 3 аксиомы:

1.  (Аксиома тотожости).

2.  (Аксиома симметрии).

3.  (неравенство треугольника).

Неотъемлемость приходится с помощью следующих соображений:

Общее понятие функции

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

 

 (инъективное, сюрьективное и биективное отображения).

Отображение f из Х в Y называется инъективным, если для любых х1, х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2).

Отображение f из Х в Y называется суръективным, если множество значений f(X) совпадает с областью значений Y.

Если использовать понятие полного прообраза, то определение можно сформулировать иначе. Отображение f из Х в Y называется суръективным, если полный прообраз произвольного элемента y∈Y является непустым множеством.

Отображение f из Х в Y называется биективным, если оно суръективно и инъективно одновременно.

Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y).

Частные случаи функций.

 

 

Наименование	Формула	Частные случаи
1.Постоянная
2.Степенная функция	y=x(^a)
3. Показательная функция
4.Логарифмическая функция
5. Тригонометрические функции
6. Обратные тригонометрические функции

 

 

 

Определение.

Если каждому значению ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

 

Определение.

Последовательность называется ограниченной сверху, если ; Мверхняя грань.

Определение.

 Последовательность называется ограниченной снизу, если ;mнижняя грань.

Определение.

  Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют два вещественных числа М и mтакие, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенствам:

,                                                                            (8.3)

m и M – нижняя и верхняя грани .

Неравенства (8.3) называют условием ограниченности последовательности .

Например, последовательность ограниченная, а неограниченная.

♦ Утверждение. (это так, просто дополнение)

является ограниченной .

Доказательство. Выберем . Согласно определению 8.5 последовательность будет ограниченной. ■

Определение. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся хотя бы один элемент последовательности x_n, удовлетворяющий неравенству: .

Например, последовательность 1, 2, 1, 4, …, 1, 2n, … неограниченная, т.к. ограничена только снизу.

 

 

Теорема о сохранение неравенств. Теорема о необходимом условии существования конечного предела последовательности.Бесконечный предел последовательности, бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности.

Доказательство

Пусть α_n = a_n − A. Тогда ∀ ε > 0 ∃ n_ε: ∀ n > n_ε → |α_n| = |a_n − A| < ε.

 

(суть какая: берем сходящуюся(то есть последовательность, у которой есть предел А) и из нее делаем новую альфа-последовательность через a_n = A + α_n это и будет связь между бмп и сходящейся(в доказательстве просто говорим, что для любой окрестности мы получим альфа-последовательность, лежащую в этой окрестности))

 

 

 

16. Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь бесконечно малой с бесконечно большой последовательностью.

17. Теоремы об умножении сходящихся последовательностей и о делении сходящихся последовательностей.

18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах.

 18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах.

Признаки существования предела:

Теорема(о двух милиционерах)

Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями и, т.е. выполняется неравенство "х, причем эти функции имеют одинаковый предел при, то существует предел функции y=f(x) при, равный этому же значению.      

Переход к пределу в неравенствах.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если, то x_n > 0, однако.

Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности {y_n - x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел. Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {y_n - a} является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности {y_n - a} удовлетворяют неравенству

|y_n - a| ≤ max {|x_n - a|, |z_n - a|}.

Так как и, то для любого ε > 0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n ≥ N₁ |x_n - a| < ε, а при n ≥ N₂ |z_n - a| < ε. Пусть N = max{N^*, N₁, N₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y_n - a| < ε. Итак, последовательность {y_n - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.

 

 

19. Предел монотонной последовательности. Неперово число (число е).

Неперово число.

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное число. Приблизительно равно 2,71828.

Используя теорему Вейерштрасса, можно показать, что последовательность  является сходящейся, то есть имеет предел. Данный предел равен числу е - числу Эйлера, которое является основанием натурального логарифма:

 

20. Частные пределы. Теорема Больцано - Вейерштрасса (без доказательства).

Частные пределы пока не знаю

Теорема Больцано-Вейерштрасса (или лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке).

Из всякой ограниченной последовательности точек пространства  можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Замечание 1: Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2:Пусть  - ограниченная последовательность, элементы которой принадлежат промежутку  . Тогда предел  любой сходящейся подпоследовательности  этой последовательности также находится на сегменте  .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

[2]

       Следствия

Второй замечательный предел:

       Следствия

для ,     

Доказательство.

Предположим, что функция  строго возрастает на отрезке .По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений  непрерывной функции  тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции  для каждого  существует единственная точка  такая, что .

Следовательно для функции  существует обратная функция  определенная на отрезке  и с множеством значений .

Покажем, что  строго возрастает на .

Пусть  и  — две произвольные точки из , такие, что  и прообразами этих точек будут точки  и .  и .

Поскольку  — строго возрастающая функция, то неравенство  возможно тогда и только тогда, когда  или, что то же самое, когда .

В силу произвольности  делаем вывод, что функция  — строго возрастает на множестве .

Для случая, когда  строго убывает теорема доказывается аналогично.

И, следовательно,

y₁/ x = ₁ y₁/ x + ₂ y₂/ x.

Перейдя здесь к пределу при x 0, получим формулу (10.21).

       2) Пусть y₂ = y₁y₂; тогда

 y = (y₁ + y₁)(y₂ + y₂)) - y₁y₂ = y₂y₁ + y₂ y₁ + y₁ y₂ + y₁ y₂,

Откуда

y1/ x = y2 y1/ x + y1 y2/ x.

(10.24)

       Заметив, что в силу непрерывности функции f₂ в точке x₀ выполняется условие y₂ = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу при x 0, получим формулу (10.22).

       3. Пусть f₂(x₀) 0, и y = y₁/y₂; тогда

Следовательно,

Перейдя здесь к пределу при x 0, получим формулу (10.23).

       Отметим, что из формулы (10.21) при y₂ = 0 (так же, как и из формулы (10.22), когда функция y₂ равна постоянной, а поэтому y'₂ = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.

( y)' = y', R.

Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим

Итак,

(tg x)' = 1/cos²x.

Аналогично вычисляется

(ctg x)' = -1/sin²x.

       Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим

d( ₁ y₁ + ₂ y₂) = ₁dy₁ + ₂ dy',

d(y₁y₂) = y₂dy₁ + y₁dy₂,

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

 

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Устранимый разрыв 1 рода.

       Определение устранимого разрыва первого рода.

       В точке  функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке,то есть .

Неустранимый разрыв 1 рода.

     Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

       В точке  функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку  в этом случае называют точкой скачка функции.

Разрыв 2 рода.

     Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

       В точке  функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

 

 

Теорема Ферма.

Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство.

Пусть функция f определена на окрестности U(x₀) точки x₀ и принимает в этой точке, например, наибольшее значение, т. е. для любой точки x  U(x₀) выполняется неравенство f(x) < f(x₀). Тогда если x < x₀, то

(12.1)

а если x > x₀, то

(12.2)

       По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел

поэтому в неравенствах (12.1) и (12.2) можно перейти к пределу при x x₀. В результате получим соответственно f'(x₀) > 0 и f'(x₀) < 0. Следовательно, f'(x₀) = 0.

Теорема Ролля.

Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке горизонтальна.

Доказательство.

Если функция f(x) постоянна на отрезке [a,b], то производная равна нулю в любой точке интервала (a,b), т.е. в этом случае утверждение справедливо.

 

Если функция f(x) не является постоянной на отрезке [a,b], то по теореме Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке ξ интервала (a,b), т.е. в точке ξ существует локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю: f′(ξ)=0.

Доказательство