Сущность и значение средней величины

 

Средние величины широко распространены в статистике. В средних величинах отображаются важнейшие показатели това­рооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами харак­теризуются качественные показатели коммерческой деятельнос­ти: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Сред­няя — это один из распространенных приемов обобщений.

Если совокупность величин состоит из множества единиц какого либо свойства, то средняя, отвлекаясь от их индивидуаль­ных различий, характеризует то общее, типичное, что присуще всей совокупности в целом. В средней величине компенсируют­ся, погашаются случайные отклонения, присущие индивидуаль­ным значениям, отражаются те общие свойства, под влиянием которых формировалась вся совокупность. В этом проявляется в самом общем виде закон больших чисел. Сам закон больших чисел состоит в постоянном погашении элемента случайности в сводных характеристиках совокупности по мере увеличения ее численности. Вместе с тем средняя величина, являясь обобщен­ной характеристикой совокупности в целом, не изменяет конк­ретных индивидуальных величин.

+ Средние величины — это обобщающие показатели, в кото­рых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массо­вых данных правильно статистически организованного массово­го наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статисти­ческая средняя будет объективна и типична, если она рассчиты­вается по массовым данным для качественно однородной сово­купности (массовых явлений).

+ Средняя величина является показателем, рассчитываемым путем сопоставления абсолютных или относительных величин. Для получения требуемой средней величины необходимо коррек­тно определить те показатели, которые следует соотнести, т.е. построить исходное соотношение средней. Последнее отражает сущность рассчитываемой средней величины. Например, сред­няя урожайность рассчитывается путем соотнесения валового сбора (выраженного в центнерах) с общим размером посевной площади (выраженного в гектарах).

+ Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокуп­ность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать сис­темой средних величин, которые могут описать явление с раз­ных сторон. Так, изменения доходов торговых предприятий ха­рактеризуют показатели среднего оборота на одно предприятие, среднего размера дохода на одно предприятие, среднего уровня доходности и др. В этом случае более отчетливо просматривает­ся общая тенденция, т.е. здесь нет уже действия тех разнообраз­ных условий, которые определяли размер дохода каждого пред­приятия.

 

Виды средних величин

 В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называет­ся общей средней. Средние, исчисленные для каждой группы, — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изу­чаемого явления, групповая средняя дает характеристику разме­ра явления, складывающуюся в конкретных условиях данной груп­пы.

Например, статистическое изучение рождаемости и средне­го количества детей в семье на территории бывшего СССР про­водилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Тра­диционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Сред­нее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону, — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализ групповых и общих средних исполь­зуется для характеристики социально-экономических типов изу­чаемого общественного явления. В частности, при изучении рож­даемости большое значение имеет характеристика этого процес­са по общественным группам населения региона.

Групповые средние используются для изучения закономер­ности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вы­вод о наличии и направлении взаимосвязи между группирован­ным (факторным) признаком и результативным показателем.

Групповые средние широко применяются также при опре­делении имеющихся использованных резервов производства, когда наряду со средними величинами рассматриваются и инди­видуальные значение признака.

+ Существуют две категории средних величин:

1. Степенные средние, к которым относятся средняя арифме­
тическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

2. Структурные средние, к которым относятся мода и медиа­
на.

Выбор того или иного вида средней производится в зависи­мости от цели исследования, экономической сущности и усред­няемого характер имеющихся исходных данных.

3) Средняя арифметическая величина представляет собой са­мый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается имен­но средняя арифметическая. Формула простой средней арифме­тической имеет вид:

где X — средняя величина;

х — индивидуальные значения признака отдельных единиц

совокупности,

п — численность совокупности.

Простая средняя арифметическая используется в расчете фон­дового индекса Доу-Джонса, для определения среднего остатка оборотных средств по балансу, среднегодовой численности насе­ления и др.

+ Средняя арифметическая взвешенная не имеет принципи­альных отличий от простой средней арифметической: суммиру­ется один из повторяющихся вариантов, заменяясь на частоту своего повторения. Естественно, что при этом величина средней зависит уже от соотношения их весов. Чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней, и на­оборот.

Средняя арифметическая взвешенная:

где f— частота.

Эта формула широко используется при расчете среднего бал­ла успеваемости студентов, для расчета фондового индекса «Стен-дард энд пурз-500», в расчетах экономических показателей.

4) Средняя гармоническая простая величина обратна средней арифметической простой.

4- Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по сле­дующей формуле:

где М — вес или готовое произведение x - f = М.

Средняя гармоническая взвешенная используется при отсут­ствии действительных носителей признака. Например, предпри­ятия А, В, С произвели продукции на 102%, 104, 98%. Средняя арифметическая величина, полученная на основе сложения ука­занных величин и деления на 3, объективно не будет соответ­ствовать состоянию дел. В этом случае необходимо использо­вать среднегармоническую величину.

5) Средняя геометрическая простая высчитывается путем из­влечения корня степени п из произведения отдельных значений признака:

Основная область применения этого вида средней — исчис­ление средних темпов роста показателей за различные проме­жутки времени. По данной формуле вычисляется биржевой ин­декс «Файнэншл Тайме», сложные проценты на рынке ценных бумаг, среднегодовой коэффициент роста.

+ Средняя геометрическая взвешенная применяется, когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких пери­одов. Формула средней геометрической взвешенной определяет­ся следующим образом:

где П(Xf) — произведение,

f— продолжительность отрезков времени.

6) Формула средней квадратической используется для измере­ния степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней ариф­метической величины.

7) Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая могут быть представлены в виде некоторой сис­темы величин, вычисленных из степенной средней:

где k — показатель степени. С изменением показателя степени k выражение данной фун

С изменением показателя k выражение данной функции меняется, и в каждом отдельном случае приходим к опре­деленному виду средней:

 

+ Известно, что степенные средние разных видов, исчислен­ные по одной и той же совокупности, имеют различные количе­ственные значения. И чем больше показатель степени k, тем боль­ше и величина соответствующей средней:

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажо-рантностъю средних.

 Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая аб­страктная величина, могут быть использованы величины кон­кретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжиро­ванном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убы­вания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода — это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Ее обозначают символом Мо. Например: 2, 4, 3, 3, 3, 3, 1,5. Мода —3.

Чтобы определить медиану, необходимо найти середину ран­жированного статистического ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Вначале определяют порядковый номер медианы:

Nme = (п + 1)/2,

где п — объем ряда (число единиц в ряду).

Если ряд состоит из четного числа членов, то медиана опре­деляется как полусумма двух срединных вариант. Например, дан ряд 10, 20, 30, 40, 50,..., 80.

N_m = (8 + 1)/2 = 4.5, М_е = (40 + 50)/2 + 45.

В практике мода и медиана часто используются вместо сред­ней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречаю­щуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее, наилучшей характеристикой величины варианта слу­жит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых — точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответ­ствующих практических задач.