Раздел 1. Общая теория статистики.

Раздел 1. Общая теория статистики.

Тема 1.1. Предмет, методы, основные категории и задачи статистики

 

План занятия

 

1) История развития статистики. Предмет и метод статистики.

2) Основные категории и понятия статистики

3) Задачи статистики

 

Предмет и метод статистики

Понятие об исследовании количественных сторон объектов и явлений начало формироваться с момента развития у человека элементарных навыков работы с информацией. Уже в древнем мире появилась потребность подсчитывать численность жителей государства, учитывать людей, пригодных к военному делу, оп­ределять количество скота, размеры земельных угодий и друго­го имущества. Информация такого рода была необходима для сбора налогов, ведения войн и т.п. В дальнейшем, по мере разви­тия общественной жизни, круг учитываемых явлений постепен­но расширяется.

Особенно возрастает объем собираемой информации с развитием капитализма и международных экономических связей. Потребности этого периода вынуждали органы государственного управления и капиталистические предприятия собирать для прак­тических нужд обширную и разнообразную информацию о рын­ках труда и сбыта товаров, сырьевых ресурсах.

В середине XVII в. в Англии возникло научное направле­ние, получившее название «политической арифметики», начало которому положили Уильям Петти (1623—1687) и Джон Граунт (1620—1674 гг.). Его теоретики на основе изучения инфор­мации о массовых общественных явлениях стремились открыть закономерности общественной жизни и таким образом ответить на вопросы, возникавшие в связи с развитием капитализма.

Наряду со школой «политических арифметиков» в Англии, в Германии развивалась школа описательной статистики, или «государствоведения». Возникновение этой науки относится к 1660 г.

Развитие политической арифметики и государствоведения привело к появлению науки статистики.

Понятие «статистика» происходит от латинского слова «status», которое в переводе означает положение, состояние, по­рядок явлений.

В научный оборот термин «статистика» ввел профессор Гет-тингенского университета Готфрид Ахенвалъ 0(1719—1772).

В ходе исторического развития из статистической науки выделился ряд самостоятельных статистических дисциплин:

-общая теория статистики

-экономическая статистика и ее отрасли

-социальная статистика и ее отрасли.

Общая теория статистики – разрабатывает общие принципы и методы статистического исследования общественных исследований, наиболее общие категории (показатели) статистики.

Экономическая статистика – разрабатывает показатели и формирует систему показателей, отражающих состояние национальной экономики, занимается количественно качественной характеристикой массовых процессов и явлений в экономике.

 

 

Для изучения своего предмета статистика разрабатывает и применяет разнообразные методы, совокупность которых образует статистическую методологию. Применение в статистическом исследовании конкретных методов предопределяется поставлен­ными при этом задачами и зависит от характера исходной ин­формации.

Основной метод статистики — диалектический метод по­знания всех явлений в их взаимозависимости и взаимообуслов­ленности.

К специфическим методам статистики относят:

1)статистическое наблюдение;

2)сводку и группировку полученных данных;

3)статистический анализ.

В случае необходимости статистическое исследование мо­жет содержать дополнительный этап — статистический прогноз.

Статистическое наблюдение — научно организованный сбор данных о явлениях и процессах общественной жизни по­средством регистрации по заранее разработанной программе на­блюдения их существенных признаков. Данные наблюдения пред­ставляют собой первичную статистическую информацию о на­блюдаемых объектах, которая является основой для получения их обобщающих характеристик. Наблюдение — один из главных методов статистики и одна из важнейших стадий статистическо­го исследования.

Сводка — процесс приведения в систему полученных дан­ных, их обработка и подсчет промежуточных и общих итогов, расчет взаимосвязанных величин аналитического характера. По­нятие сводки включает в себя действия по группировке статисти­ческих данных.

Статистический анализ — исследование характерных осо­бенностей структуры, связи явлений, тенденций, закономерностей развития социально-экономических явлений, для чего исполь­зуются специфические экономико-статистические и математико-статистические методы. Статистический анализ завершается ин­терпретаций полученных результатов.

Статистический прогноз — научное выявление состояния и вероятных путей развития явлений и процессов, основанное на системе установленных причинно-следственных связей и зако­номерностей.

 

Задачи статистики

Одной из главных задач статистики является изучение на основе статистических данных происходящих в стране социаль­но-экономических и научно-технических процессов и явлений, эко­номический анализ материалов и представление Президенту, Пра­вительству, федеральным органам исполнительной власти офи­циальной статистической информации по актуальным вопросам экономического и социального развития страны, выполнения го­сударственных и региональных программ по решению важней­ших народнохозяйственных проблем.

Отраслевое деление статистической науки, сформированное к настоящему времени, позволяет выделить следующие задачи статистики:

- совершенствование методики статистического наблюдения в связи со все более широким применением выборочного наблюдения;

- приведение системы статистических показателей в соответствие с современными международными рекомендациями для стран с рыночной экономикой;

- расширение аналитических возможностей системы статистических показателей;

- определение роли субъективных и объективных факторов в социальной сфере;

- исследование взаимовлияния всех составляющих развития общества друг на друга;

- обеспечение доступности статистических данных с целью расширения круга их пользователей.

 

 

Выборочное наблюдение.

Статистическое исследование может осуществляться по данным не сплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих не сплошное наблюдение, является выборочный метод.

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5 — 10%, реже до 15 — 25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.).

Проведение исследования социально — экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:

1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода;

2) составление программы проведения статистического исследования выборочным методом;

3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной   информации;

4) установление доли выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;

5) обоснование способов формирования выборочной совокупности;

6) осуществление отбора единиц из генеральной совокупности для их обследования;

7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;

8) статистическая обработка полученной в выборке информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;

9) определение количественной оценки ошибки выборки;

10) распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака — генеральной средней (обозначается ).

В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается ), а среднюю величину в выборке — выборочной средней (обозначается ).

Пример.

При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении г.

На основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии.

Прежде всего устанавливаются характеристики выборочной совокупности. Выборочная доля, или частость,  определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n:

Поскольку из 100 изделий, попавших в выборку n, 90 ед. оказались стандартными m, то показатель частости равен: = 90:100=0,9.

Средний вес изделия в выборке х = 500,5 г определен взвешиванием. Но полученные показатели частости (0,9) и средней величины (500,5 г) характеризуют долю стандартной продукции и средний вес одного изделия лишь в выборке. Для определения соответствующих показателей для всей партии товара надо установить возможные при этом значения ошибки выборки.

Ошибка выборки — это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Определение ошибки выборочной средней.

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

,

где  — средняя ошибка выборочной средней;

— дисперсия выборочной совокупности;

n — численность выборки.

 

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:

,

где N — численность генеральной совокупности.

Определение ошибки выборочной доли.

При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:

,

 

где  — выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

 — число единиц, обладающих изучаемым признаком;

 — численность выборки.

При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:

Предельная ошибка выборки  связана со средней ошибкой выборки  отношением:

.

При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:

,

.

Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:

,

.

 

Малая выборка.

При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки.

Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 — 5 единиц.

Средняя ошибка малой выборки  вычисляется по формуле:

,

где  — дисперсия малой выборки.

При определении дисперсии  число степеней свободы равно n-1:

.

Предельная ошибка малой выборки  определяется по формуле

При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (Табл. 9.1.), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

.

 

 

Таблица 9.1.

n	t
	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0
4	0,347	0,609	0,769	0,861	0,942
6	0,362	0,637	0,806	0,898	0,970
8	0,368	0,649	0,823	0,914	0,980
10	0,371	0,657	0,832	0,923	0,985
15	0,376	0,666	0,846	0,936	0,992
20	0,377	0,670	0,850	0,940	0,993

Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,59 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки  используются следующие показания распределения Стьюдента (Табл. 9.2.)

Таблица 9.2.

n
	0,95	0,99
4	3,183	5,841
5	2,777	4,604
6	2,571	4,032
7	2,447	3,707
8	2,364	3,500
9	2,307	3,356
10	2,263	3,250
15	2,119	2,921
20	2,078	2,832

В статистике различают одноступенчатые и многоступенчатые способы отбора единиц в выборочную совокупность.

При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной и серийной выборке.

При многоступенчатой выборке производят подбор из генеральной совокупности отдельных групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типическая выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность.

Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.

Статистические таблицы

Результаты группировок находят свое выражение в виде свод­ных таблиц.

Таблица — это компактное изображение собранного мате­риала в виде системы строк и столбцов, на пересечении которых приводятся данные, характеризующие изучаемое явление.

+ Статистическая таблица состоит из следующих элементов: общий заголовок — отражает суть всей таблицы, содержит указание на характеризуемый признак объекта исследования, вре­мя, место наблюдения (иногда единицы измерения признака);

подлежащее — характеризуемый в таблице объект исследо­вания (находится в левой части таблицы по строкам);

сказуемое — показатели, характеризующие подлежащее (рас­полагается в верхней части по графам);

итоговая строка — может находиться в начале (тогда со­провождается нижеследующей строкой «в том числе») или в конце подлежащего. В тех графах итоговой строки, в которых по смыслу не могут быть подсчитаны результаты, ставится «X»;

цифровые данные — количественная характеристика иссле­дуемого объекта (в случае отсутствия данных ставится «...» или пишется «нет сведений», а в случае отсутствия типа явления ста­вится «—»);

сетка — пересечение горизонтальных и вертикальных ли­ний.

+ Все таблицы можно разделить на три группы:

1. Таблицы простые, или перечневые, в которых содержатся сводные показатели или перечень отдельных объектов без расчленения совокупности на группы.

2. Групповые таблицы, в которых статистическая совокупность расчленена на отдельные группы и каждая из этих групп охарактеризована рядом показателей.

3. Комбинационные таблицы, в которых статистическая совокупность разбита на группы по нескольким признакам (таким образом, в таблице получается комбинация групп).

+ По построению сказуемого различают простые и комбини­рованные таблицы. При простой разработке каждая графа сказу­емого отдельно друг от друга характеризует подлежащее. При комбинированной таблице показатели сказуемого разрабатыва­ются в сочетании друг с другом.

Статистические графики

Важное значение при изучении коммерческой деятельности имеет графическое изображение статистической информации. Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспринимаемой. В коммерческой деятельности графический метод находит широкое применение для иллюстрации сложившегося положения дел на рынке товаров и услуг, конъюнктуры спроса и предложения, рекламы товаров.

Применение графиков в статистике насчитывает более чем двухсотлетнюю историю. Основоположником графического метода в статистике коммерческой деятельности считают английского экономиста У. Плейфейра (1731 — 1798). В своих работах он впервые применил способы графического изображения статистических данных (линейные, столбиковые, секторные и другие диаграммы).

Статистические графики - это одно из самых наглядных средств представления информации.

Статистический график представляет собой чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур изображаются статистические данные. В результате этого достигается наглядная характеристика изучаемой статистической совокупности. Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспринимаемой.

В статистическом графике различают следующие основные элементы:

· поле графика;

· графический образ;

· пространственные и масштабные ориентиры;

· экспликация графика.

Полем графика является место, на котором он выполняется. Это листы бумаги, географические карты, план местности и т.п. Поле графика характеризуется его форматом (размерами и пропорциями сторон). Размер поля графика зависит от его назначения.

Графический образ — это символические знаки, с помощью которых изображаются статистические данные (линии, точки, прямоугольники, квадраты, круги и т.д.). В качестве графического образа выступают и объемные фигуры. Иногда в графиках используются негеометрические фигуры в виде силуэтов или рисунков предметов.

Пространственные ориентиры определяют размещение графических образов на поле графика. Они задаются координатной сеткой или контурными линиями и делят поле графика на части, соответствующие значениям изучаемых показателей.

Масштабные ориентиры статистического графика придают графическим образам количественную значимость, которая передается с помощью системы масштабных шкал.

Масштаб графика — это мера перевода численной величины в графическую (например, 1 см соответствует 100 тыс. руб.). При этом чем длиннее отрезок линии, принятой за числовую единицу, тем крупнее масштаб.

Масштабной шкалой является линия, отдельные точки которой читаются как определенные числа. Шкала, по которой отсчитываются уровни изучаемых показателей, как правило, начинается с 0. Последнее число, наносимое на шкалу, несколько превышает максимальный уровень, отсчет которого проводится по этой шкале. При построении графика допускается разрыв масштабной шкалы. Этот прием используется для изображения статистических данных, имеющих значения лишь в определенных значениях.

Экспликация графика — это пояснение его содержания, включает в себя заголовок графика, объяснения масштабных шкал, пояснения отдельных элементов графического образа.

Заголовок графика в краткой и четкой форме поясняет основное содержание изображаемых данных. Помимо заголовка, на графике дается текст, делающий возможным чтение графика. Цифровые обозначения шкалы дополняются указанием единиц измерения.

Гистограммы.

При обработке и отображении экспериментальных данных, в которых изучаемый признак может принимать любое значение из некоторого интервала, используют следующие способы представления данных:

¨ гистограммы;

¨ полигон частот;

¨ полигон накопленных частот (кумулята).

Гистограмма состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников, изображенных на координатной сетке.

Существует несколько случаев построения гистограмм.

Равные интервалы группировки данных.

Открытые крайние интервалы группировки.

Абсолютные показатели

 

Абсолютные и относительные величины являются обобщающи­ми показателями, характеризующими количественную сторону об­щественных явлений. Различают два вида обобщающих показате­лей: абсолютные и относительные величины.

Абсолютные стат. величины показывают объем, размеры, уровни различных социально-экономических явлений и процессов. Отражают уровни в физических мерах объема, веса и т.п. В общем абсолютные стат. величины – это именованные числа. Они всегда имеют определенную размерность и единицы измерения. Последние определяют сущность абсолютной величины.

Типы абсолютных величин

Натуральные – такие единицы, которые отражают величину предметов, вещей в физических мерах.

Денежные (стоимостные) – используются для характеристики многих экономических показателей в стоимостном выражении.

Трудовые – используются для определения затрат труда (человеко-час, человеко-день).

Условно-натуральные – единицы, к-рые используются для сведения воедино нескольких разновидностей потребительных стоимостей.

Виды абсолютных величин

Индивидуальные – отражают размеры количественных признаков у отдельных единиц изучаемой совокупности.

Общие – выражают размеры, величину количественных признаков у всей изучаемой совокупности в целом.

Абсолютные величины отражают наличие тех или иных ресурсов, это основа материального учета. Они наиболее объективно отражают развитие экономики и являются основой для расчета разных относительных стат. показателей.

Относительные показатели

Относительные стат. величины выражают количественные соотношения м/у явлениями общественной жизни, они получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую.

Знаменатель (база) – это величина, с которой производится сравнение.

Сравниваемая величина – это величина, которая сравнивается.

Относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базисной или какую долю первая составляет по отношению ко второй. В ряде случае относительная величина показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Важное свойство – относительная величина абстрагирует различия абсолютных величин и позволяет сравнивать такие явления, абсолютные размеры которых непосредственно несопоставимы.

В результате сопоставления одноименных абсолютных величин получают неименованные относительные величины. Они могут выражаться в виде долей, кратных соотношений, процентных соотношений и т.д.

Результатом сопоставления разноименных величин являются именованные относительные величины. Их название образуется сочетанием сравниваемой и базисной абсолютных величин.

Выбор формы зависит от характера аналитической задачи, которая состоит в том, чтобы с наибольшей ясностью выразить соотношение.

Как правило, базу сравнения принимают равной 1, 100, 1000, 10 000. Если основание равно 1, то относительная величина показывает, во сколько раз текущая величина больше базисной или какую долю от базисной она составляет, и выражается в коэффициентах. Если база сравнения равна 100, то относительная величина выражена в процентах (%), если база сравнения равна 1000 — в промилле (%о), 10 000 — в продецимилле (%₀₀.).

Сопоставляемые величины могут быть одноименными и разно­именными. Если сравнивают одноименные величины, то их выра­жают в коэффициентах, процентах, промилле. При сопоставлении разноименных величин наименования относительных величин об­разуются от наименований сравниваемых величин: плотность насе­ления страны — человек/кв. км; урожайность — ц/га и т.д.

В зависимости от задач, содержания и познавательного значе­ния выражаемых количественных соотношений различают следую­щие виды относительных показателей:

1) планового задания и вы­полнения плана;

2) динамики;

3) структуры;

4) интенсивности;

5) координации;

6) сравнения.

1. Относительные показатели планового задания (ОППЗ) — отношение уровня, запланированного на предстоящий период (П), к уровню показателя, достигнутого в предыдущем периоде (Ф_о):

Относительные показатели выполнения плана (ОПВП) — отно­шение фактически достигнутого уровня в текущем периоде (Ф₁) к уровню планируемого показателя на этот же период (П):

2. Относительные показатели динамики характеризуют измене­ние уровня развития какого-либо явления во времени. Показатели

этого вида получаются делением уровня признака за определенный периодили момент времени на уровень этого же показателя в Предыдущий период или момент. Относительные величины динамики иначе называют темпами роста.

Они могут быть выражены в Коэффициентах или процентах и определяются с использованием Переменной базы сравнения — цепные и постоянной базы сравне­нии - базисные (см. гл. 5).

3. Относительные показатели структуры характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельные веса элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности (f_i) ко всему объему совокупности :

где d — удельный вес частей совокупности.

4. Относительные показатели интенсивности характеризуют сте­пень насыщенности или развития данного явления в определенной среде, являются именованными показателями и могут выражаться в кратных отношениях, процентах, промилле и других формах.

5. Относительные показатели координации (ОПК) характеризу­ют отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, при­нятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой или сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000 единиц другой части. Эти относи­тельные величины могут быть исчислены как по абсолютным пока­зателям, так и по показателям структуры.

6. Относительные показатели сравнения (ОПС) характеризуют отношения одноименных абсолютных показателей, соответствую­щих одному и тому же периоду или моменту времени, но к различ­ным объектам или территориям.

 

Тема 1.5. Средние величины и показатели вариации в статистике

1) Сущность и значение средней величины

2) Виды средних величин

3) Понятие вариации, ее значение

4) Вариационный ряд

5) Виды вариации

6) Система показателей вариации

 

Виды средних величин

 В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называет­ся общей средней. Средние, исчисленные для каждой группы, — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изу­чаемого явления, групповая средняя дает характеристику разме­ра явления, складывающуюся в конкретных условиях данной груп­пы.

Например, статистическое изучение рождаемости и средне­го количества детей в семье на территории бывшего СССР про­водилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Тра­диционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Сред­нее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону, — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализ групповых и общих средних исполь­зуется для характеристики социально-экономических типов изу­чаемого общественного явления. В частности, при изучении рож­даемости большое значение имеет характеристика этого процес­са по общественным группам населения региона.

Групповые средние используются для изучения закономер­ности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вы­вод о наличии и направлении взаимосвязи между группирован­ным (факторным) признаком и результативным показателем.

Групповые средние широко применяются также при опре­делении имеющихся использованных резервов производства, когда наряду со средними величинами рассматриваются и инди­видуальные значение признака.

+ Существуют две категории средних величин:

1. Степенные средние, к которым относятся средняя арифме­
тическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

2. Структурные средние, к которым относятся мода и медиа­
на.

Выбор того или иного вида средней производится в зависи­мости от цели исследования, экономической сущности и усред­няемого характер имеющихся исходных данных.

3) Средняя арифметическая величина представляет собой са­мый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается имен­но средняя арифметическая. Формула простой средней арифме­тической имеет вид:

где X — средняя величина;

х — индивидуальные значения признака отдельных единиц

совокупности,

п — численность совокупности.

Простая средняя арифметическая используется в расчете фон­дового индекса Доу-Джонса, для определения среднего остатка оборотных средств по балансу, среднегодовой численности насе­ления и др.

+ Средняя арифметическая взвешенная не имеет принципи­альных отличий от простой средней арифметической: суммиру­ется один из повторяющихся вариантов, заменяясь на частоту своего повторения. Естественно, что при этом величина средней зависит уже от соотношения их весов. Чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней, и на­оборот.

Средняя арифметическая взвешенная:

где f— частота.

Эта формула широко используется при расчете среднего бал­ла успеваемости студентов, для расчета фондового индекса «Стен-дард энд пурз-500», в расчетах экономических показателей.

4) Средняя гармоническая простая величина обратна средней арифметической простой.

4- Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по сле­дующей формуле:

где М — вес или готовое произведение x - f = М.

Средняя гармоническая взвешенная используется при отсут­ствии действительных носителей признака. Например, предпри­ятия А, В, С произвели продукции на 102%, 104, 98%. Средняя арифметическая величина, полученная на основе сложения ука­занных величин и деления на 3, объективно не будет соответ­ствовать состоянию дел. В этом случае необходимо использо­вать среднегармоническую величину.

5) Средняя геометрическая простая высчитывается путем из­влечения корня степени п из произведения отдельных значений признака:

Основная область применения этого вида средней — исчис­ление средних темпов роста показателей за различные проме­жутки времени. По данной формуле вычисляется биржевой ин­декс «Файнэншл Тайме», сложные проценты на рынке ценных бумаг, среднегодовой коэффициент роста.

+ Средняя геометрическая взвешенная применяется, когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких пери­одов. Формула средней геометрической взвешенной определяет­ся следующим образом:

где П(Xf) — произведение,

f— продолжительность отрезков времени.

6) Формула средней квадратической используется для измере­ния степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней ариф­метической величины.

7) Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая могут быть представлены в виде некоторой сис­темы величин, вычисленных из степенной средней:

где k — показатель степени. С изменением показателя степени k выражение данной фун