Явления переноса. Вязкость. Теплопроводность. Диффузия. Термодиффузия.

 

Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества. Выравнивание неоднородностей приводит к возникновению явления переноса. Явление переноса в газах состоит в том, что в них возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение или вязкость) и внутренней энергии. При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и Максвелловское распределение молекул по скоростям. Отклонениями от закона Максвелла объясняется направленный перенос физических характеристик вещества в явлениях переноса (в одномерных случаях физические величины, характеризующие перенос зависят только от координаты)

Явление внутреннего трения (вязкости) называется появление сил трения между слоями газа или жидкости  движущимися друг относительно друга параллельно с разными (по величине) скоростями. Силы внутреннего трения направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

Причиной внутреннего трения являются наложения упорядоченного движения слоев газа с различными скоростями и теплового хаотического движения молекул со скоростями, зависящими от температуры. Хаотическое движение молекул переносит их из слоя В, движущейся со скоростью , в слой А, движущийся со скоростью . При этом происходит перенос импульсов упорядоченного движения молекул.

Если , то молекулы, ранее бывшие в слое В, оказавшись в слое А, при столкновениях его с молекулами ускоряют свое движение, а упорядоченное движение молекул слоя А замедляется. И, наоборот.

 

 

Явление внутреннего трения описывается законом Ньютона:

 

- напряжение трения; - коэффициент внутреннего трения или динамический коэффициент вязкости; - градиент скорости движения слоев наединицу длины в направлении нормали к поверхности слоя.

 

 

Согласно молекулярно-кинетической теории.

Кинематическим коэффициентом вязкости называется величина: , где

 не зависит от давления (или плотности) газа, т.к. ~ . Это объясняется тем, что при изотермическом увеличении (например, в 2 раза), вдвое увеличивается число переносчиков импульса, но каждая молекула (или атом) проходит без столкновения вдвое меньшие расстояния и переносит вдвое меньше импульс, поэтому в целом перенос импульса не меняется.

 

Теплопроводность – осуществляется при наличии разности температур, созданной в теле в каком-либо направлении. Например, две противоположные стенки сосуда с газом могут иметь различные температуры, поддерживаемые внешними источниками. Тогда молекулы газа будут иметь разные кинетические энергии. В этих условиях хаотическое тепловое движение приведет к направленному переносу энергии в форме теплоты. Молекулы, перешедшие из нагретых частей объема газа в более холодные, в процессе соударения передают часть своей средней кинетической энергии окружающим молекулам и наоборот.

Согласно кинетической теории газов: .

Явлением диффузии называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов. В химически чистых газах при  диффузия возникает вследствие неодинаковой плотности в различных частях объема газа. Для смеси газа диффузия возникает из-за различия в плотностях отдельных газов в разных частях объема смеси.

В химически однородных газах диффузия описывается законом Фика:

- удельный поток массы , численно равный массе газа, который диффундирует за единицу времени через плоскую поверхность с единичной площадью, перпендикулярно к направлению переноса,  - плотность газа, D – коэффициент диффузии, - градиент плотности. Знак «-» показывает что убывает.

Другая форма записи закона Фика:

- плотность потока молекул при диффузии, т.е. число молекул диффундирующих за  единицу времени через единичную площадку, - концентрация молекул, m – масса одной молекулы,

Выражение для коэффициента диффузии получается из кинетической теории газов:

,

где - среднеарифметическая скорость теплового движения молекул, - средняя длина свободного пробега.

 

Между коэффициентами переноса существует связь

;

Если известен какой-либо из коэффициентов, то по известным и можно найти остальные.

 

В свою очередь по известным коэффициентам можно найти или

Законы переноса могут быть записаны в виде:

, ,

Наряду с явлением диффузии существует явление термодиффузии. Она приводит к противоположному результату – к частичному разделению однородной газовой смеси и превращению ее в неоднородную смесь. Это явление было теоретически предсказано в 1911 году и экспериментально доказано в 1917 году. Оно заключается в том, что разность температур в однородной газовой смеси приводит к возникновению разности концентраций компонентов смеси в направлении падения температуры. Явление термодиффузии нельзя объяснить только на основе МКТ.

 

 

Лекция 6
6.1 Теплопроводность

Теплообмен (теплоперенос) – самопроизвольный необратимый процесс распространения теплоты в пространстве, обусловленный разностью температур.

Различают три элементарных способа переноса теплоты:
1. Теплопроводность – перенос, обусловленный взаимодействием микрочастиц соприкасающихся тел (или частей одного тела), имеющих разную температуру.
2. Конвекция – перенос вследствие пространственного перемещения вещества. Наблюдается в текучих средах (жидкости, газы) и, как правило, сопровождается теплопроводностью.
Процесс обмена теплотой между твердой поверхностью и жидкостью (газом) путем и теплопроводности и конвекции называется коллективным теплообменом или теплоотдачей.
Процесс переноса теплоты от одной жидкой (газообразной) среды к другой через разделяющую их твердую стенку называется теплопередачей.
3. Тепловое излучение – перенос посредством электромагнитного поля с двойным взаимным превращением – теплоты в энергию поля и наоборот.

В реальных случаях переноса теплоты эти способы обычно сопутствуют друг другу; если при этом вклад хотя бы двух из них существенен, то говорят о сложном теплообмене.

Во многих задачах перенос теплоты через выделенную поверхность сопровождается переносом вещества, массы (теплообмен при фазовых превращениях, при химических реакциях и т.д.). такие процессы одновременного переноса теплоты и вещества принято называть совместным теплообменом.

Совокупность значений температуры всех точек тела в данный момент времени представляет температурное поле:

                                                                      (1)

На основании уравнений (1) могут быть рассчитаны любые характеристики переноса теплоты в теле вследствие теплопроводности.

Поле может быть одномерным и двумерным (; ). Если температура остается постоянной с течением времени, то поле называют стационарным (установившимся).

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, образует изотермическую поверхность. Форма и положение такой поверхности в пространстве меняются во времени, если поле нестационарное, и остаются неизменными, если поле стационарное.
Кривые, образующиеся в результате пересечения изотермической поверхности и плоскости, называются изотермами. Изотермические поверхности (также как и изотермы) никогда не пересекаются т.к. в точке не может быть : они либо заканчиваются на поверхности тела, либо замыкаются сами на себе.

Изменение температуры в пространстве характеризуется градиентом температуры, которые определяется как вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры:

 – единичный вектор соответствующего направления.

Передача теплоты вследствие теплопроводности происходит всегда в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, переносимое за единицу времени через произвольную изотермическую поверхность площадью F, называют тепловым потоком Q. Тепловой поток, приходящийся на единицу площади изотермической поверхности, носит название плотности теплового потока q. Связь между Q и q из их определения:
                                                               

Скалярная величина q может рассматриваться как модуль вектора плотности теплового потока  направление которого совпадает с направлением распространения теплоты в заданной точке.

Основной закон теплопроводности – закон Фурье:

             (2)

Коэффициент теплопроводности λ является физическим свойством вещества и зависит от его природы, а также температуры и в меньшей степени от давления.
С увеличением температуры для газов (λ=0,005÷0,5 Вт/м·К), значение λ возрастает, для капельных жидкостей(λ=0,08÷0,7 Вт/м·К) – уменьшается (исключение составляют глицерин и вода); для твердых тел (λ=0,02÷400 Вт/м·К): у диэлектриков (0,02-3,0) – увеличивается, у чистых металлов – уменьшается, а у сплавов – увеличивается.
 Сплавы отличаются меньшим коэффициентом теплопроводности по сравнению с чистыми металлами, причем даже незначительные примеси значительно уменьшают значение λ.
Наиболее достоверные значения коэффициента теплопроводности определяются экспериментально.

Применение законов Фурье и сохранения энергии к анализу процессов теплопроводности в неподвижной изотропной среде приводит к дифференциальному уравнению теплопроводности, которое связывает временное и пространственное изменение температуры:

,            

,      (3)

Где ρ – плотность, с – удельная теплопроводность,  - мощность внутренних источников теплоты, которая представляет собой количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) источниками (стоками) в единице объема тела за единицу времени (появление внутренних источников теплоты может быть вызвано пропусканием электричества, химическими или ядерными превращениями и т.д.).

Запишем уравнение энергии в виде:

,  (4)

Где ρ – плотность, – удельная теплопроводность;  – субстанциальное производное, - скорость возрастания внутренней энергии при обратимом сжатии на единицу объема,  – коэффициент динамической вязкости,  – диссипативная функция (представляет количество теплоты, возникающей в потоке вязкой жидкости за счет необратимой работы сил внутреннего (вязкого) трения, и выражается через градиенты скоростей).

При ρ=const ( и λ не зависит от Т формула (4) примет вид:

;
для идеального сжимаемого газа:
  ;
для твердого тела , поэтому:
;      (5)

Где  – коэффициент температуропроводности, т.е. физическое свойство вещества, характеризующее скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле.
 – теплопроводность твердого тела. Или иначе:
                                                          (6) – уравнение теплопроводности Фурье

В случае, когда температура не меняется во времени:
                                                               , или
                                                                            (7) – уравнение Лапласа.   

В тех случаях, когда температурное поле оказывается одномерным или двумерным, оператор Лапласа упрощается.

Уравнение теплопроводности может быть использовано для решения конкретных задач теплопроводности, если оно дополнено краевыми условиями (условия однозначности) которые включают в себя:
а) геометрические условия, задающие форму и размеры тела;
б) физические условия, определяющие физические свойства вещества (λ, ρ, с), их зависимость от времени, если она имеется, а также изменение в пространстве и во времени мощности внутренних источников теплоты ;
в) начальные условия, устанавливающие распределение температуры внутри тела Т(x,y,z) в начальный момент времени τ=0.
Задание этих условий требуется только для нестационарных задач.
г) граничные условия, характеризующие процесс теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Различают три (четыре) вида граничных условий:

- граничные условия первого рода – на поверхности тела задано распределение  в каждый момент времени; в частности, на поверхности тела может быть .
- граничные условия второго рода – на поверхности тела задано распределение плотности теплового потока  в каждый момент времени; в частности, оно может быть равномерным и не изменятся во времени (.
- граничные условия третьего рода – известны температура среды, окружающей тело, и закон, по которому происходит теплообмен между поверхностью тела и средой. Если среда жидкая, то чаще всего используется закон Ньютона-Рихмана, связывающий плотность теплового потока на поверхности тела  с температурами поверхности среды :

         (8)

Где  – коэффициент теплоотдачи, характеризующий интенсивность теплообмена.

Значение  зависит от многих факторов и в общем случае изменяется на поверхности тела и во времени. С учетом (2) граничное условие третьего рода может быть представлено, как:
                                                         (9)   

Где n – нормаль к поверхности тела.

- граничные условия четвертого рода (условия сопряжения), которые сводятся к одновременному равенству температур и тепловых потоков на границе раздела, когда решается задача о теплообмене двух сред (твердое тело – жидкость, тело-тело, жидкость-жидкость), в каждой из которых перенос теплоты описывается своим условием энергии:
                                                                    (10);
                                                           (11).

Эти условия допускают различные модификации в зависимости от физических условий на границе раздела сред. Например, если контакт между двумя твердыми телами не является идеальным, то условие (10) может содержать скачок температур. Если на границе раздела имеются источники, то в условие (11) следует добавить .

Наряду с прямой задачей теплопроводности – отысканию температурного поля с известными условиями (краевыми) – возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температуры требуется определить соответствующие краевые условия или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества).

Конвективный теплообмен

Понятие конвективный теплообмен или теплоотдача означает перенос теплоты между некоторой выделенной поверхностью и движущейся относительно ее текучей средой – жидкостью или газом. В качестве выделенной поверхности обычно рассматривается поверхность твердого тела, но это может быть и граница раздела жидкостей или жидкой и газовой (паровой) фаз.

Если относительное движение жидкости (газа) т выделенной поверхности теплообмена вызвано каким-либо внешним возбудителем (насос, ветер и т.д.), конвекцию называют вынужденной.

Если же движение текучей среды возникает под действием неоднородного поля массовых сил (например, гравитационных), то такой процесс принято называть свободной или ест ественной конвекцией. При этом неоднородность поля гравитационных сил вызывается неоднородной (вследствие теплообмена) плотностью текучей среды.

Различают внутренние задачи (теплообмен между стенками канала и потоком теплоносителя в нем) и задачи при внешнем обтекании тел.

Для характеристики интенсивности конвективного теплообмена используются местный и средний коэффициенты теплоотдачи.

Местный коэффициент теплоотдачи: ,
где  - локальная, , ,  - локальные пульсации скорости и температуры потока.

Коэффициенты  и  в отличие от μ и λ не являются физическими свойствами среды. Непосредственно на твердой поверхности теплообмена  и .

Турбулентные составляющие напряжения и теплового потока определяют с помощью методов статистической теории турбулентного переноса, или экспериментально.

Решение уравнений конвективного теплообмена при соответствующих условиях однозначности (граничные и начальные условия) позволяют определить температурное поле в потоке, а затем вычислить и остальные искомые значения , α и . Точное решение уравнения движения и энергии, составляющих систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возможно лишь в ограниченном числе простейших случаев.

Измерения показали, что коэффициент  имеет сложную зависимость от скорости  в пограничном слое, что затрудняет его использование в расчетах.
μ – является функцией состояния жидкости,  - зависит от режима движения.

6.3 Критерии подобия

Исходные уравнения и их решения, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена принято представлять в виде зависимости между безразмерными комплексами - критериями (числами) подобия.

Для приведения функциональной зависимости к безразмерному виду пользуются в частности методом масштабных преобразований, состоящим из следующих этапов:

1) Для каждой группы однородных величин (имеющих одинаковый физический смысл, одинаковую размерность), в составе которых имеются постоянные, выбирают одну из них в качестве масштаба и приводят эти величины к безразмерному виду (,   и т.д.).

2) В исходные уравнения вместо размерных параметров подставляют их выражения в виде произведения безразмерной величины и соответствующего масштаба (, …, ). 

3) Оставшиеся в уравнениях размерные величины и появившиеся в них масштабы группируют в безразмерные комплексы.

Произведенная процедура позволяет установить совокупность безразмерных критериев, характерных для изучаемого процесса. Эти критерии в общем случае являются мерой относительного влияния действующих сил и процессов переноса (потоков импульса, энергии, масс) на течение жидкости и теплообмен. Например для стационарных процессов конвективного теплообмена в однородной несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами (кроме плотности) характерны следующие безразмерные числа:

 - число Нуссельта (14)

 - число Стантона (15)
выражают интенсивность теплоотдачи (безразмерные коэффициенты теплоотдачи).

 - число Рейнольдса (16)
характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости.

 - число Прандтля (17)
физический параметр, характеризующий соотношение молекулярных свойств переноса импульса и теплоты.

 - число Пекле (18) (теплоотдача)
характеризует соотношение конвективных и молекулярных потоков теплоты при конвективном теплообмене.

 - число Грасгофа (19) (свободная конвекция)
характеризует эффективность подъемной силы, вызывающей свободноконвективное движение вязкой жидкости.

 - число Фруда (20) (теплоотдача)

Представляет собой среднюю меру отношения сил инерции к силам тяжести.

 - число Эйлера (21) (теплоотдача)
распределение давления в исследуемом потоке является следствием физической обстановки, которая сложилась при движении жидкости, поэтому перепад давления ΔΡ является величиной искомой, а не заданной. Число Эйлера имеет смысл безразмерной неизвестной переменной ΔΡ.

 - число Галилея (22) (свободная конвекция)

Комбинируя число Галилея с параметрическим критерием, характеризующим неоднородное поле плотности , получим комплекс:

 - число Архимеда (23) (свободная конвекция)

  (24) – безразмерные координаты точек поверхности теплообмена и линейные размеры.

В этих соотношения приняты следующие обозначения:  - плотность теплового потока на поверхности теплообмена;  - координаты точек поверхности теплообмена; - характерный линейный размер;  - разность температур между стенкой и жидкостью;  - характерная скорость жидкости (газа);
теплофизические свойства: - коэффициент теплопроводности;  - коэффициент температуропроводности;  - кинематическая и динамическая вязкости; - плотность;  - удельная теплоемкость;  - температурный коэффициент объемного расширения.

, (25);
для идеального газа: .

В числа (Nu, Re, Pe и т.д.) входит линейный размер . Теория подобия не дает однозначного ответа на вопрос, какой должен быть принят размер за определяющий, т.е. за масштаб линейных размеров. Если в условия однозначности входит несколько размеров, за определяющий принимается тот, который в наибольшей мере влияет на процесс и удобен в расчетной практике (например: диаметр трубы, диаметр обтекаемой цилиндрической поверхности, продольная координата и т.д.). В ряде случаев в качестве определяющего размера берется не геометрическая характеристика теплообменной поверхности, а характерный параметр потока или составленный из разнородных физических величин комплекс, имеющий размерность длины.

Теория подобия не дает универсальных рекомендаций к выбору определяющей температуры (температуры, при которой выбираются физические свойства теплоносителя, входящий в числа подобия). Целесообразно в качестве таковой использовать температуру, которая задается в условиях практических задач или наиболее полно отражает особенности состояния теплоносителя и может быть вычислена.

При течении жидкости (газа) вдоль плоской поверхности (пластины) в пристенной зоне образуется гидродинамический пограничный слой, в пределах которого скорость изменяется от  на внешней границе до нуля на стенке. На начальном участке пластины, пока пограничный слой тонкий, течение ламинарное. Далее на некотором расстоянии  от передней кромки пластины течение в пограничном слое становится турбулентным. Условная граница перехода от ламинарного режима к турбулентному определяется критическим значением числа Рейнольдса:

В действительности значение  зависит от степени начальной турбулентности набегающего потока, шероховатости обтекаемой поверхности, интенсивности теплообмена и переход от ламинарного режима течения к турбулентному происходит не в точке, а на некотором участкею

Толщина ламинарного пограничного слоя растет с расстоянием от передней кромки пластины по закону: , (26)
а при турбулентном режиме течения: , (27)
Формула (27) относится к случаю, когда пограничный слой турбулентен начиная от передней кромки пластины.

При наличии разности температур стенки и потока в пристенной зоне формируется и тепловой пограничный слой, в пределах которого температура теплоносителя изменяется от значения температуры стенки  до температуры  избегающего потока. Характер формирования теплового слоя во многом похож на характер развития гидродинамического пограничного слоя, и соотношение их толщин в основном определяется числом Прандтля (Pr), т.е. физичискими свойствами теплоносителя. Для ламинарного пограничного слоя толщина теплового потока: .

 

Лекция 7 Течение жидкости (газа)

Ламинарным называется такое движение, при котором возможно существование стационарных траекторий жидкости.

 

Турбулентным называется движение жидкости с хаотично меняющимися во времени траекториями частиц, при котором в потоке возникают нерегулярные пульсации скорости, давления и других параметров, неравномерно распределенные в потоке.

Пределы изменения параметров: Re< ; 0,6<Pr<15
определяющий размер: x, l
среднее значение  

Измерения показали, что в каждой точке турбулентного потока несжимаемой жидкости скорость и давление, а в сжимаемой жидкости также и плотность, температура пульсируют.

Мгновенное значение пульсирующей физической величины в данной точке называют актуальным значением. Актуальные значения скорости и давления изменяются во времени хаотически, произвольным образом становясь больше некоторого среднего значения. В любой точке потока не наблюдается повторяемости комбинаций актуальных значений составляющих скорости
Существует лишь вероятностная зависимость между актуальными значениями скоростей для двух любых точек в потоке. Такой статистический характер величин создает большие трудности при его исследовании.

Актуальные значения скорости для двухмерного потока:

(28)
где  - осредненные значения скорости;  - пульсации скорости.

Осредненным значением называют среднее актуальное значение физической величины за некоторый интервал времени, выбранный таким образом, чтобы осредненной значение не зависело от величины интервала.

Пульсация физической величины есть разность между актуальным и осредненным значениями физических величин. Актуальное значение давления:

Осредненное значение скорости в данной точке турбулентного потока находят следующим образом: ,
где  - промежуток времени, значительно больший, чем время одной пульсации.

Степенью турбулентности называют отношение средней квадратичной пульсации составляющих вектора скорости в данной точке турбулентного потока к осредненному значению скорости в той же точке.

, (29)

Степень турбулентности влияет на интенсивность переноса количества движения и теплоты в турбулентном потоке.

На процессы переноса в турбулентном потоке оказывают влияние массы жидкости, движущейся как единое целое, или пространственная структура турбулентности. В качестве одной из характеристик пространственной структуры турбулентности входят коэффициент корреляции, который характеризует взаимную связь величин аэродинамического поля в данный момент времени:

, (30)
где  - продольные (вдоль оси x) пульсации скорости турбулентного потока в двух различных точках, расположенных вдоль оси y.

На рис.1 представлено изменение коэффициента корреляции продольных пульсаций скорости потока с турбулентностью, наведенной сеткой с размером ячейки a. Безразмерное расстояние (вдоль оси y) между точками измерения пульсаций скорости изменялось от  до r=1; измерения произведены в сечении потока на расстоянии от сетки вниз по течению, большем чем 40 a.

 

Рис.1 К определению масштаба турбулентности

Представление о средних размерах турбулентных образований (масс жидкости, движущихся, как единое целое) может дать величина: , которую иногда называют масштабом турбулентности.

Величина L, как правило, оказывает на процессы переноса значительно меньшее влияние чем толщина пограничного слоя .

рис.2

У передней кромки обтекаемой пластины образуется ламинарный пограничный слой с толщиной (рис.2). На расстоянии  от передней кромки режим движения в пограничном слое становится переходным. Режим движения жидкости, промежуточный между ламинарным и турбулентным, называется переходным режимом движения. Область пограничного слоя, на протяжении которого режим движения переходный, называется переходной зоной.

В конце переходной зоны образуется турбулентный пограничный слой с толщиной . Однако в непосредственной близости от стенки сохраняется ламинарный режим движения. Область потока в турбулентном пограничном слое с толщиной , где может сохраняться ламинарный режим движения, но может возникать и турбулентный, называется вязким подслоем.

Физическая обстановка в турбулентном пограничном слое сложнее, чем в свободном потоке. Например, степень турбулентности  становится переменной величиной, она уменьшается по мере уменьшения расстояния от стенки, т.к. соответствующим образом изменяются  и , . В ламинарном подслое пульсации исчезают, и понятие осредненной скорости теряет смысл: у стенки, при y=0 скорости  и  равны нулю.

Механизм переноса теплоты в турбулентном пограничном слое значительно сложнее, чем в ламинарном, и пока еще не совсем ясен. В ламинарном пограничном слое теплота переносится путем теплопроводности и конвекции. В пристенной части пограничного слоя, где скорость жидкости очень мала, теплота переносится в основном теплопроводностью. С увеличением расстояния от стенки (в пределах пограничного слоя) продольная скорость потока увеличивается и вместе с ней увеличивается интенсивность конвекции. В турбулентном пограничном слое, в его турбулентной части в результате пульсаций скорости происходит непрерывное перемешивание макрочастиц жидкости. Если в пограничном слое имеется поперечный градиент температуры, то процесс перемешиван