Основне рівняння гідродинаміки (рівняння Д. Бернуллі).

Рівняння, про яке йтиметься нижче, є теоретичним обгрунтуванням руху рідин, а тому і вважається основним рівнянням гідродинаміки. Воно встановлює зв'язок між висотним положенням потоку рідини відносно площини порівняння, тиском і швидкістю руху рідини в будь-якому перерізі потоку. Рівняння називається ім'ям Д. Бернуллі (швейцарця за походженням), оскільки ним було вперше встановлено зв'язок між тиском і швидкістю рідини в потоці. Вперше було опубліковане в 1738 р.

У тому вигляді, в якому ми будемо його розглядати, рівняння було сформоване пізніше, але Д. Бернуллі було віддано належне, і рівняння на його честь назване його ім'ям.

За вже усталеною методикою, спочатку розглянемо рівняння стосовно елементарної струминки ідеальної (нев'язкої), а потім реальної (в'язкої) рідини.

Для цього виділимо в рухомій рідині нескінченно малих розмірів паралелепіпед (рис. 1.29). Складемо рівняння руху паралелепіпеда вздовж осі 0 х, скориставшись при цьому методом Ейлера (див. п. 1.2.2). Згідно з рис. 1.8, на паралелепіпед зліва діє сила pdydz, а справа -  і масова сила ρ dxdydzX. Якщо до названих сил додати силу інерції зі зворотним знаком, то, згідно з принципом Даламбера, можна вважати, що паралелепіпед знаходиться в стані рівноваги.

 

 

Рис. 1.29. Схема до виведення рівняння.

Складові сил інерції по координатних осях описуються так:

ρ dxdydz   ρ dxdydz     ρ dxdydz  (1.105)

Якщо рівняння (1.105) віднести до одиниці маси, розділивши їх на ρ dxdydz, то отримаємо:

-1 -1 -1                (1.106)

Додавши до рівнянь рівноваги рідини (1.23) сили інерції, замінивши F_x =Х, F _у =У, F_z = Z, одержимо диференціальні рівняння руху нев'язкої рідини (рівняння Ейлера):

 X- Y- Z-  (1.107)

Помножимо складові рівнянь (1.107) відповідно на dx, dy, dz і складемо їх:

(Xdx + Ydy + Zdz) -   (1.108)

Спростимо отримане рівняння (1.108) таким чином:

1. Вираз (Xdx + Ydy + Zdz) будемо вважати повним диференціалом якоїсь функції П, тобто

d П = Xdx + Ydy + Zdz.              (1.109)

2. Вважаючи рух сталим, тобто p = f (х, у, z), можна записати:

dp =         (1.110)

3. Оскільки u_x = то

Аналогічно можна записати і для осей Y і Z:

і       (1.111)

Підставивши отримані вирази в рівняння (1.108), одержимо:

d П- або . (1.112)

Після інтегрування отримаємо:

  (1.113)

Якшо рідина рухається тільки під дією зовнішньої сили тяжіння, то d П= Zdz =- gdz. Звідси П = - gZ. Підставивши цей вираз в рівняння (1.113), отримаємо:

    (1.114)

Розділимо рівняння (1.114) на g, віднісши його до одиниці ваги рідини, отримаємо:

Z + Н г    (1.115)

де Н г - гідродинамічний напір, м.

Для нев'язкої рідини рівняння (1.115) для двох перерізів 1-1 і 2-2 можна записати у вигляді рівності гідродинамічних напорів у цих перерізах Н г₁ = Н г₂, або

Z ₁ + (1.116)

Отримане рівняння є рівнянням Бернуллі для елементарної струминки нев'язкої рідини.

Для в'язкої (реальної) рідини напір у будь-якому вищерозташованому перерізі завжди буде більше напору в нижчерозташованому за течією перерізі, оскільки частина енергії витрачається на подолання сил опору, і рівняння (1.116) набере вигляду

Z ₁ + (1.117)

 

де h _в - втрати напору на подолання всіх опорів (сил в'язкості і сил тертя рідини об поверхню русла), h _в = Н г₁ - Н г₂.

Для потоку в'язкої (реальної) рідини рівняння (1.117) можна застосувати за умови, якщо рух рідини буде сталим і плавнозмінним, тобто таким, при якому кут розходження між сусідніми елементарними струминками буде настільки малим, що складовими швидкості в поперечному напрямку можна знехтувати. Тоді буде справедливим основний закон гідростатики, тобто величина Z = p /γ, однакова в усіх точках перерізу.

При русі рідини вздовж твердої стінки її швидкість досягає максимального значення в центральній частині потоку і зменшується до нуля біля дна русла. Нерівномірний розподіл швидкостей означає неоднакове сковзання одних елементарних струминок по інших. Враховуючи все це, у рівняння Бернуллі вводиться середня швидкість руху рідини V. Для приведення результатів розрахунків по середній швидкості у відповідність з дійсними швидкостями вводиться коефіцієнт а, який характеризує нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізу потоку і є відношенням кінетичної енергії, вирахуваної за дійсними швидкостями руху, до енергії, вирахуваної за середньою швидкістю руху рідини в тому ж перерізі, тобто

α=       (1.118)

де М - маса рідини; u і V - відповідно дійсна й середня швидкості руху рідини.

Таким чином, для двох перерізів у потоці в'язкої (реальної) рідини, з урахуванням вищенаведених положень, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:

Z ₁ +        (1.119)

де Z ₁, Z ₂ - висотне положення перерізів відносно площини порівняння; р₁, р₂ - гідростатичний тиск відповідно у першому і другому перерізах; γ- питома вага рідини (γ=ρ g); α - коефіцієнт, який враховує нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізу потоку (α=1,05...1,1); V₁, V₂ - середня швидкість руху рідини відповідно у першому і другому перерізах; g - прискорення вільного падіння; h _в - втрати напору при русі рідини від першого до другого перерізу.

Кожна з величин, які входять до рівняння Бернуллі (1.119), може змінюватися, але їхня сума в кожному перерізу є постійною, тобто

Z+   (1.120)