Динамические процессы в системах

Основным математическим аппаратом для исследования систем являются дифференциальные уравнения. Различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов являются нестационарными, но скорость изменения их свойств намного меньше скорости управления, поэтому такие объекты можно рассматривать как стационарные.

Линейный объект с сосредоточенными координатами описывает дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b_mx ^(m)(t)+ b_{m −1} x ^{(m –1)}(t)+…+ b ₁ x ¢(t)+ b ₀ x (t). (5.3)

Уравнение (5.3) описывает поведение объекта на неустановившемся режиме при любой форме входного сигнала x (t). Частными случаями уравнения (5.3) являются уравнения

a_ny ^{( n )}(t)+ a_{n −1} y ^{( n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b_mx ^{( m )}(t)+ b_{m −1} x ^{( m –1)}(t)+…+ b ₁ x ¢(t), (5.3а)

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)= b_mx ^(m)(t)+ b_{m −1} x ^{(m –1)}(t)+…+ b ₁ x ¢(t)+ b ₀ x (t). (5.3б)

Объекты, описываемые уравнением (5.3а), имеют вырожденную статическую характеристику, так как b ₀ = 0. Объекты, описываемые уравнением (5.3б),не имеют статической характеристики.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называют статическими, а не имеющие статической характеристики – астатическими.

Часто уравнения систем автоматического управления являются нелинейными, поэтому проводят их линеаризацию и получают уравнение (5.3) в виде уравнения в отклонениях, которое описывает объект в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнение в отклонениях и исходное уравнение совпадают.

Для решения уравнения (5.3) необходимо задать начальные условия или состояние процесса в момент времени, принятый за его начало t = 0

.                   (5.4)

Общее решение уравнения (5.3) представляется в виде:

y (t) = y _св (t) + y _вын (t).                                  (5.5)

В (5.5) y _св (t) является общим решением однородного уравнения, соответствуя движению системы в отсутствии входного сигнала x (t) ≡ 0, и определяется свойствами самой системы; y _вын (t) – частное решение уравнения (5.3), зависит от вида функции x (t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению системы.

Переходная функция

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используют единичную функцию времени 1(t) (4.1).

Переходной функцией h (t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x (t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b ₀×1(t); y (0)=0, y ¢(0)=0, …, y ^{(n -1)}(0)=0.

Кривой разгона называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Рис. 5.4 Переходная характеристика: а) ступенчатое воздействие; б) кривая разгона

На практике кривую разгона определяют экспериментально, используя данные для анализа и синтеза систем автоматического управления.

Весовая функция

Для получения весовой (импульсной переходной) функции в качестве стандартного сигнала используют δ-функция (4.2) (рис. 5.5).

Весовой функцией w (t) называют аналитическое выражение для решения уравнения (5.3) при x (t) = d (t) и нулевых начальных условиях

a_ny ⁽ⁿ⁾(t)+ a_{n −1} y ^{(n –1)}(t)+…+ a ₁ y ¢(t)+ a ₀ y (t)= b ₀×d(t); y (0)=0, y ¢(0)=0, …, y ^{(n -1)}(0)=0.

Рис. 5.5. Переходная характеристика: а) δ-функция; б) весовая функция

Считают, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса, при этом переходный процесс нормируют путем деления его ординат на S.

Между переходной и весовой функциями существует соответствие

; w (t) = h ¢(t).

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля используют для определения выхода объекта у (t) при произвольном входном сигнале x (t) и известных h (t) либо w (t). На вход объекта, описываемого функцией w (t), подают сигнал x (t) (4.10).

Если реакцию объекта на δ(t – t_i) обозначить через w (t – t_i)(весовая функция), а реакцию на  – через  (приближенная весовая функция), то выходной сигнал .

Рис. 5.6. Представление входного (а) и выходного сигналов (б)

Замена входного сигнала x (t) набором импульсов, высота которых совпадает с координатами x (t_i) (рис. 5.6а), позволяет записать реакцию на входное воздействие х (t) на основании принципа суперпозиции (рис. 5.6б)

.

Если D t_i ® 0, при этом t_i ® t; n ® ¥; ; D t_i ® d t; , где τ – параметр сдвига каждого импульса

.                                   (5.6)

Это уравнение называют интегралом Дюамеля (уравнением свертки). Весовая функция показывает, как влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени τ = 0.

Интеграл Дюамеля можно записать через переходную функцию

 или . (5.7)