Алгебраические критерии устойчивости

Необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действительных частей корней характеристического уравнения. Существуют методы исследования устойчивости, которые не требуют определениия корней характеристического уравнения – алгебраические критерии устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы. Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения

D (s) = a ₀ sⁿ + a ₁ s^{n –1} +…+ a^{n –1} s + a_n                         (14.1)

сначала строят главный определитель Гурвица

                             (14.2)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a ₁ до a_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получают определители Гурвица низшего порядка

;…                   (14.3)

Критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a ₀, то есть при a ₀ > 0: ∆₁ > 0; ∆₂ > 0; ∆₃ > 0;...; ∆ _n > 0.

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a ₀ s + a ₁ = 0; условия устойчивости: a₀> 0, a ₁ > 0;

2) n = 2; a ₀ s ² + a ₁ s + a ₀ = 0; условия устойчивости: a₀ > 0, a ₁ > 0, a ₂ > 0;

3) n = 3; a ₀ s ³ + a ₁ s ² + a ₂ s + a ₃ = 0; условия устойчивости: a ₀ > 0; a ₁ > 0;     a ₂ > 0; a ₃> 0; a ₁ a ₂ – a ₀ a ₃ > 0.

Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4. По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

 

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

 

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию.

Принцип аргумента

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие принципа аргумента. Пусть дан полином n -йстепени (14.1).

Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить как

D (s) = a ₀(s – s ₁) (s – s ₂)×...×(s – s_n),                         (15.1)

где s_j = α _j + i ω _j – корни уравнения D (s) =0; j = 1, 2,..., n.

Каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке s_j (рис. 15.1а). Длина его равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа.

Величины (s – s_j) геометрически изображаются вектором, проведенным из точки s_j к произвольной точке s (рис. 15.1б). При s = i ω

D (i ω) = a ₀(i ω – s₁)×(i ω – s ₂)... (i ω – s_n)                  (15.2)

и концы всех векторов будут находиться на мнимой оси (рис. 15.1в).

Модуль и аргумент вектора D (i ω)

| D (i w)| = a ₀| i w – s ₁|×| i w – s ₂|×…×| i w – s_n |,                 (15.3)

Arg D (i ω) = Arg(i ω – s ₁) + Arg(i ω – s ₂)+ … + Arg(i ω – s_n).             (15.4)

Если принять за положительное направление отсчета углов вращения против часовой стрелки, то при изменении частоты от –∞ до +∞ каждый элементарный вектор поворачивается на угол π,если корень расположен слева от мнимой оси, и на –π, если корень расположен справа (рис. 15.1г).

Если полином имеет m правых корней и (n – m) левых, то при изменении ω от –∞ до +∞ изменение аргумента вектора D (i ω) равно сумме углов поворота вектора (i ω – s_j)

.                (15.5)

Рис. 15.1. Принцип аргумента

Изменение аргумента D (i ω) при изменении частоты от –∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D (s) = 0, умноженной на π.При изменении частоты ω от 0 до ∞ изменение аргумента вектора D (i ω)будет вдвое меньше

.                                 (15.6)

Это правило положено в основу всех частотных критериев.

Критерий Михайлова

Критерий является геометрической интерпретацией принципа аргумента. Замена в характеристическом полиноме (14.1) s = i ω приводит к комплексному полиному, называемому функцией Михайлова.

D (i w) = a ₀(i w) ⁿ + a ₁(i w) ^{n –1} + … + a_n = U (w) + iV (w) = D (w) e^{i j(w)},        (15.7)

где U (ω) = a_n − a_{n −2}ω² + a_{n −4}ω⁴ +..., V (ω) = ω(a_{n −1} − a_{n −3}ω² + a_{n −5}ω⁴ −...) называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова D (ω) - модуль D (i ω); j(w) − фаза D (i ω).

При изменении частоты конец вектора D (i ω) будет описывать некоторую кривую, называемую годографом Михайлова, в комплексной плоскости.

При изменении частоты от 0 до ∞ угол поворота вектора D вокруг начала координат равен (15.6), отсюда число правых корней полинома

,                            (15.8)

если m = 0, то

.                                   (15.9)

Выражение (15.9) является необходимым, но недостаточны условием устойчивости. Для того, чтобы получить необходимое и достаточное условие устойчивости, необходимо исключить корни, лежащие на мнимой оси, то есть должно выполняться условие:

D (i w) ¹ 0.                                               (15.10)

Формулы (15.9 – 15.10) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Михайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D (i ω)при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, не проходя через нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол p n /2, где n –порядок характеристического уравнения.

Для устойчивых систем годограф Михайлова начинается при ω = 0 на вещественной полуоси, D (0) = a_n; с ростом частоты фаза монотонно возрастает и вектор поворачивается только против часовой стрелки. В связи с этим критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь на вещественной положительной полуоси, обходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения. Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис. 15.2).

Анализируя годограф Михайлова, можно установить следующее: когда годограф Михайлова последовательно проходит квадранты, то вещественная и мнимая оси пересекаются поочередно. В точках пересечения с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция V (ω), а в точках пересечения кривой с мнимой осью действительная функция U (ω).

Рис. 15.2. Годограф Михайлова

Частоты, при которых происходит пересечение осей, определяются корнями уравнений

                                            (15.11)

Точки пересечения кривых U (ω) и V (ω) с осью абсцисс дают значение корней уравнений (рис. 15.3) для U (ω) = 0: ω₁, ω₃, ω₅, …; для V (ω) = 0: ω₀, ω₂, ω₄,… В этом случае для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства ω₀ < ω₁ < ω₂ < ω₃ < ω₄ <...

Рис. 15.3. Действительная и мнимая составляющие функции Михайлова:

а) устойчивая система; б) неустойчивая система

Формулировка критерия устойчивости: Система автоматического управления будет устойчива тогда, когда вещественная U (ω) и мнимая V (ω) функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения n, и при ω = 0 удовлетворяется условие U (0) >0; V' (0) > 0.

Библиографическй список:

 

1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. –3-е изд-е, испр. –М.: Наука, 1975. –768 с.

2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для втузов / Е.П. Попов. –М.: Наука, 1989. –304 с.

3. Лазарева Т.Я. Основы теории автоматического управления: учеб. пособие / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. –2-е изд., перераб. и доп. –Тамбов: Изд-во ТамбГТУ, 2004. –352 с.

4. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособие для вузов / А.А. Первозванский. –М.:Наука, 1986. –616 с.

Содержание:

1. Общая характеристика объектов и САУ                                                    3

2. Принципы регулирования                                                                 6

3. Математический аппарат теории управления                              10

4. Сигналы и спектры сигналов                                                            14

5. Динамика систем                                                                                20

6. Передаточные и частотные функции                                                26

7. Типовые звенья                                                                                  32

8. Статические типовые звенья                                                                       39

9. Основные способы соединения звеньев                                   46

10. Простейшие законы регулирования                                        54

11. Промышленные законы регулирования                                 58

12. Устойчивость линейных систем                                             62

13. Изображение движения в фазовом пространстве                  66

14. Устойчивость движения                                                           72

15. Частотные критерии устойчивости                                        76