Понятие фазового пространства

Фазовым пространством называют такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим для линейных и нелинейных систем. Любое дифференциальное уравнение n -гопорядка можно записать в виде системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей переходный процесс при наличии возмущений

            (13.1)

В качестве фазовых координат выбирают выходную координату системы и ее производные. Точку фазового пространства, соответствующую состоянию системы в данный момент времени t, называют изображающей точкой. Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.

Каждому переходному процессу в системе соответствует своя определенная фазовая траектория в фазовом пространстве и наоборот.

Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем второго порядка. Система дифференциальных уравнений (13.1) для системы второго порядка записывают в виде

                             (13.2)

Фазовые траектории систем второго порядка обладают свойствами.

1. В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траектории. Исключение составляет начало координат: y ₁ = 0, y ₂ = 0, которое соответствует состоянию равновесия системы

Начало координат называют особой точкой.

2. Направление движения на траектории отмечают стрелками. Движение изображающей точки на фазовой траектории происходит по часовой стрелке вокруг начала координат.

3. В точках y ₁ = 0, y ₂ = 0 происходит остановка движения.

4. В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом.

5. В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних − справа налево.

6. В любой точке фазовой плоскости, где переменная y ₂(t) и функция f ₂ (y ₁, y ₂) не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее производной dy ₂/ dy ₁ в данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.

Начальные условия переходного процесса определяют координаты начальной точки M ₀ на фазовой траектории. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называют фазовым портретом системы.