Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена второго порядка

T ₁ T ₂ y ''(t) + (T ₁ + T ₂) y′ (t) + y (t) = kx (t).                     (8.15)

Передаточная функция звена равна

.                (8.16)

Апериодическое звено второго порядка можно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т ₁и T ₂, поэтому оно не относится к числу элементарных. Корни характеристического уравнения действительные.

Частотные характеристики изображены на рис. 8.6:

АФХ: ;(8.17)

АЧХ: ;                                                  (8.18)

ФЧХ: j(w)= –(arctg T ₁w + arctg T ₂w).                                                 (8.19)

Пунктиром показаны частотные характеристики апериодического звена первого порядка. При сравнении частотных характеристик видно, что добавление второго апериодического звена первого порядка увеличивает инерционность объекта.

Рис. 8.6. Частотные характеристики апериодического звена второго порядка:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходные характеристики изображены на рис. 8.7.

Переходная функция

,                                (8.20)

где ,

представляет собой неколебательную кривую, имеющую одну точку перегиба и асимптотически стремящуюся к y (∞) = k. Весовая функция

.                           (8.21)

Рис. 8.7 Переходные характеристики апериодического звена второго порядка:

а) переходная функция; б) весовая функция

Колебательное звено

Колебательное звено является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка

.                                (8.22)

Характеристическое уравнение звена  должно иметь пару комплексно сопряженных корней, а это будет только в том случае, если Т_к / Т_д <2. Если же Т_к / Т_д >2, то корни уравнения – действительные и звено будет апериодическим звеном второго порядка.

Передаточная функция

.                                   (8.23)

 

Частотные характеристики изображены на рис. 8.8:

АФХ: .(8.24)

АЧХ: ;                                                  (8.25)

ФЧХ: .                                                                (8.26)

Рис. 8.8 Частотные характеристики колебательного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

При больших значениях Т_к / Т_д на графике АЧХ появляется максимум и при T_д ® 0 АЧХ терпит разрыв второго рода при значении w _р =1/ Т_к

Графики переходных функций изображены на рис. 8.9.

Переходная функция h (t)= k [1+ Ae ^{− a t} sin(w t − b)],                      (8.27)

где .

Весовая функция

w (t) =− A α e ^{− α t} sin(ωt−β)+ A ω e ^{− α t} cos(ωt−β)= Ae ^{− α t} (cos(ω t −β)−α×sin(ωt−β)). (8.28)

Частным случаем колебательного звена является консервативное звено, у которого характеристическое уравнение имеет только мнимые корни. В этом случае передаточная функция звена преобразуется к виду

.                                   (8.29)

Рис. 8.9. Переходные характеристики колебательного звена:

а - переходная функция; б - весовая функция

Частотные характеристики (рис. 8.10):

АФХ: ;                                                              (8.30)

АЧХ: ;                                                               (8.31)

ФЧХ:                                                              (8.32)

Годограф АФХ расположен на действительной полуоси комплексной плоскости.

Рис. 8.11. Частотные характеристики консервативного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Временные характеристики представляют собой гармонические колебания. Частота w _p =1/ T называется резонансной частотой (рис. 8.12).

Переходная функция: .                                         (8.33)

Весовая функция: .                                                  (8.34)

Рис. 8.12 Функции консервативного звена: а) переходная; б) весовая

Особые звенья

Рассмотренные звенья относятся к минимально-фазовым звеньям. Встречаются и неминимально-фазовые звенья, у которых полюса передаточной функции имеют положительную вещественную часть

.

Особенностью неминимально-фазовых звеньев является большое отставание по фазе, то есть такие звенья являются неустойчивыми.