Обчислення площ плоских фігур

Мета: сформувати вміння використовувати визначений інтеграл для обчислення площ криволінійних трапецій; розвивати абстрактне та логічне мислення,уміння спостерігати, аналізувати та обчислювати, культуру математичного мовлення, вчити користуватися словесною, символічною і графічною мовами математики; виховувати охайність, практичну спрямованість навчального матеріалу, пізнавальний інтерес до математики.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмінь

 

ХІД УРОКУ

І   ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

ІІ  АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

1. Укажіть правильний вираз для обчислення площі фігури, зображеної на рисунку:

а)           б)

в)           г)

2. Знайдіть площу фігури, обмежену лініями , x=-3, x=3, та віссю абсцис.

3. Обчисліть площу фігури, зображеної на рисунку:

 

Обговорюючи види фігур, зображених на рисунках, учні усвідомлюють, що жодна з них не є криволінійною трапецією. Проте площі фігур можуть бути виражені як різниці площ деяких криволінійних трапецій. Таким чином формулюємо завдання: навчитися обчислювати площі фігур, що можуть бути вираженими через суму або різницю скінченої кількості криволінійних трапецій.

ІІІ   ЗАСВОЄННЯ НОВИХ ЗНАНЬ, УМІНЬ ТА НАВИЧОК

1. Якщо функція f (х) неперервна і невід’ємна на відрізку [a;b], то площу фігури, обмеженої графіком цієї функції та прямими х=а і х=b, обчислюють за формулою

Наприклад: Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції  та віссю абсцис

Розв’язання: Графік функції  перетинає вісь абсцис у точках -2 і 2. Функція  неперервна і невід’ємна на відрізку [-2;2].

2. Якщо функція f (х)≤0 на відрізку [a;b], то площу фігури обчислюють за формулою

Наприклад: Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції  та віссю абсцис.

Розв’язання: Графік функції  перетинає вісь абсцис у точках -2 і 2. Функція  неперервна і від’ємна на відрізку [-2;2].

3. Якщо функція неперервна на відрізку [a;b] і набуває на цьому відрізку як додатних, так і від’ємних значень, то відрізок [a;b] слід розбити на такі частини, на кожній з яких функція f (х) зберігає свій знак, потім обчислити відповідні цим частинам площі і здобуті результати додати.

Наприклад: Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції  , віссю абсцис та прямими х=0 і х=2.

Розв’язання: на відрізку [0;2] функція набуває як додатних, так і від’ємних значень; при x є [0;1] y≥0, при x є [1;2] y≤0.

4. Площу фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій f₁ (х), f₂ (х) і двома прямими х=а, х=b де f₁ (х)≥ f₂ (х) на відрізку [a;b], обчислюється за формулою

Наприклад: Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій  і .

Розв’язання: Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій:  , звідки  . На відрізку [-1;2]