Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Миколаївський професійний промисловий ліцей Стр 1 из 10Следующая ⇒ Миколаївський професійний промисловий ліцей Петращук Олена Миколаївна     Методичний посібник   Миколаїв 2012     Петращук О.М. Викладач математики МППЛ Методичний посібник Розробка уроків з теми:«Інтеграл та його застосування»   Пропонований матеріал призначений для вчителів математики, які працюють у 11 класі (рівень стандарту), учням для самостійного опрацювання теми. Структура і зміст конспектів дають змогу учням засвоїти програмний матеріал, дозволяють самостійно працювати, здійснювати самоперевірку.     Рекомендовано методичною радою МППЛ       Вступ. 4 Програмові вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів. 5 Означення первісної 6 Основна властивість первісної. Таблиця первісних. 9 Правила знаходження первісних. 14 Знаходження первісних, що задовольняють задані початкові умови. 20 Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. 25 Властивості визначених інтегралів. 31 Обчислення площ криволінійних трапецій. 35 Обчислення площ плоских фігур. 41 Застосування інтеграла до розв’язування прикладних задач. 46 Контрольна робота № 3. 50 ТЕСТ «Інтеграл та його застосування». 54 Література. 57 Вступ   Посібник містить розробки уроків з теми «Інтеграл та його застосування». У наведених конспектах подаються тема, мета уроку. У розробках передбачено різноманітні форми організації роботи учнів під час уроку, зокрема самостійні роботи, математичні диктанти, фронтальне опитування, розв’язання задач Пропонований матеріал призначений для вчителів математики, які працюють у 11 класі (рівень стандарту), учням для самостійного опрацювання теми. Структура і зміст конспектів дають змогу учням засвоїти програмний матеріал, дозволяють самостійно працювати, здійснювати самоперевірку. Означення первісної Мета: розглянути задачі, що приводять до поняття первісної для функції, сформувати поняття первісної для функції, сформувати вміння з’ясовувати, чи є функція первісною для заданої функції, знаходити одну з первісних для заданої функції; розвивати спостережливість, уміння проводити логічні міркування; розвивати в учнів усну і письмову культуру мовлення, вчити користуватися словесною, символічною і графічною мовами математики; виховувати охайність при виконанні креслень і записів. Тип уроку: засвоєння знань, формування вмінь ХІД УРОКУ І     ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ V         ПІДСУМКИ УРОКУ 1. Поясніть в якому випадку функцію F(х) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку. Наведіть приклади.  2. Метод «Ключові слова» Зміст методу полягає у визначені «ключових» слів уроку, тобто основних термінів, які позначають знання які були отримані протягом уроку. Учні виділяють «ключові» слова уроку і пояснюють свою позицію.   Основна властивість первісної. Таблиця первісних Мета: домогтися засвоєння основної властивості первісної, таблиці первісних, сформувати вміння знаходити первісні для функцій, користуючись таблицею первісних; розвивати спостережливість, уміння проводити логічні міркування; розвивати в учнів усну і письмову культуру мовлення, вчити користуватися словесною, символічною і графічною мовами математики; виховувати охайність при виконанні креслень і записів   Тип уроку: засвоєння знань, формування вмінь   ХІД УРОКУ І     ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ V         ПІДСУМКИ УРОКУ 1. Який вигляд мають первісні для функцій: С; ; ; ; ; ? 2. Опишіть схему знаходження первісної для функції   ХІД УРОКУ І     ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ Математичний диктант Знайдіть первісні для функцій І варіант		ІІ варіант
завдання	відповідь		завдання	відповідь
f(x)	F(х)		f(x)	F(х)
1			1
2			2
3			3
4			4
5			5
6			6
7			7
8			8
9			9
10			10

VІ         ПІДСУМКИ УРОКУ

Саме час повернутися до початку уроку, до мети, яку ми перед собою поставили. Кожен «капелюшок» повинен відповісти на питання.

«Білий капелюшок» може орієнтуватись на такі запитання.

ü ∙ Яка тема даного уроку?

ü ∙ Які знання, вміння було відтворено на початку уроку?

ü ∙ Які нові знання отримали на уроці? (Над формуванням якої навички працювали? Які вміння розвивали?)

ü ∙ Які методи роботи на уроці використовували?

«Червоний капелюшок» може орієнтуватись на такі запитання:

ü ∙  В якому настрої ви перебували на даному уроці? Чому?

ü ∙ В якому настрої, на вашу думку, перебувала решта учнів?

ü ∙ Яким був настрій у вашого вчителя?

ü ∙ На розвиток яких здібностей, рис характеру вплинув цей урок

«Чорний капелюшок» може орієнтуватись на такі запитання:

ü ∙ Що на уроці заважало вам працювати продуктивно, успішно?

ü ∙ Що заважало решті учнів, вчителю?

ü ∙  Що було зайвим на уроці?

ü ∙ Які негативні елементи уроку ви помітили?

 

ХІД УРОКУ

І     ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

V         ПІДСУМКИ УРОКУ

1. Сформулюйте правила знаходження первісних. Поясніть їх на прикладах.

2. Який вигляд мають первісні для функцій: С; ; ; ; ; ?

3. Опишіть схему знаходження первісної для функції .

4. Опишіть схему знаходження первісної поданої функції, якщо відомо, що графік проходить через точку з координатами .

 

Хід уроку

І ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

Я вас вітаю на нашому уроці математики. Бажаю плідно працювати. Учиться і вчить інших. Щедро діліться знаннями один з одним, так як я ділюся своїми з вами.

ІІІ ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

У попередніх класах ви навчилися обчислювати площі прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, довільного многокутника, а також площі круга та його частин.

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функцію, ми навчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку [a;b], віссю Оx (y=0), прямими x = а, x=b

 

            

Щоб визначити площу криволінійної трапеції (обмеженої кривою y=f(x), віссю Ох, прямими х = а і х = b),розбиваємо відрізок [а; b] точками а = х₀ < х₁<... < х_п = b

на n частин, вибираємо на кожному з одержаних часткових відрізків [ х_к, х_к+1 ] к=0, 1,..., n - 1 довільну точку ξ_к, обчислюємо значення f( ξ _к) функції f(x) в цих точках і складаємо суму , де

Ця сума дорівнює сумі площ заштрихованих прямокутників і назива­ється інтегральною сумою.

Якщо тепер число точок розбиття необмежено збільшується і довжина максимального (найбільшого) часткового відрізка розбиття прямує до нуля, і при цьому величина S_n прямує до певної границі S, що не залежить від способу розбиття і вибору точок ξ_к на часткових відрізках, то величину S називають площею криволінійної трапеції, тобто

 Якщо функція f (х) визначена на відрізку [а; b] і а = x₀ < х₁ <... < х_п =b то визначеним інте­гралом від функції f(х) на відрізку [a; b] називається число, що дорівнює границі інте­гральної суми , тобто , де x_к≤ ξ_к≤x_к+1 і

 

У позначені інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S – першу букву слова summa. Подінтергальний вираз f(x)dx нагадує вигляд кожного окремого доданка інтегральної суми. Множник dx в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b - верхнею межею інтегрування.

Отже , якщо f(x)≥0 для всіх xє[а; b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями y=f(x), x = а, x=b, y=0

 

Якщо функція f (х) визначена і неперервна на відрізу [а; b] і F(x) – будь-яка її первісна (тобто , то   формула Ньютона-Лейбніца.

 

Наприклад:

 

А зараз прослухаємо повідомлення, підготовлені за матеріалами додаткової літератури.

Заслуховування повідомлень

 

 

Ісаак Ньютон

 

Ісаак Ньютон народився 4 січня 1643 року в селі Вулсторп (біля міста Грантем) у родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісаак був кволою ди­тиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому бу­ло 3 роки, мати вдруге вишила заміж і виїхала з ферми. Ди­тина залишилася з бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого онука. Першу науку Ісаак проходив у сільській школі, а в 12 років бабуся відда­ла його до найближчої міської школи у м. Грантем. Спочат­ку Ісаак учився погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один з його однолітків під час суперечки побив Ісаака. Він дуже пере­живав, що не може відплатити, бо кривдник був значно сильнішим. Тоді Ньютон вирішив зробити інакше: перевер­шити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі, і навіть директор школи при­людно визнали його найкращим учнем.

Після закінчення школи Ньютон вступив у 1661 році до Триніті-коледжу Кембріджського університету.

У 1671 році Ньютон переробив і науково обґрунтував те­орію флюксій, маючи намір опублікувати її. Але видана во­на була лише після його смерті у 1736 році.

Будучи великим ученим, Ньютон не вихвалявся своїми відкриттями, а завжди віддавав належну шану своїм попе­редникам і сучасникам, які своїми працями підготували грунт для його відкриттів.

У повсякденному житті він додержувався суворого режи­му. Цим загартував свій організм і до 80 років був міцним і здоровим. Коли Ньютону було близько 80 років, він захворів на так звану кам’яну хворобу, вилікувати яку було немож­ливо і яка в останні тижні життя завдала йому важких страждань.

31 березня 1727 року великої людини не стало. Він помер у вісімдесят чотири роки. Геніального вченого урочисто хо­вали у Вестмінстерському абатстві, де ховають видатних і коронованих осіб Англії. На пам 'ятнику вибито віршований напис, що закінчується словами: «Нехай радіють смертні, що серед них жила така прикраса роду людського».

Готфрід Вільгельм Лейбніц

Видатний німецький математик, філософ і політичний діяч Готфрід Вільгельм Лейбніц народився І липня 1646 ро­ку у Лейпцигу в сім’ї професора етики і юрисконсульта Лейпцігського університету. Коли Готфріду було 7 років, помер його батько. Малий хлопець настільки захопився чи­танням, що зовсім покинув дитячі ігри й забави, зранку до вечора не виходив з бібліотеки. Ніби граючись, він само­тужки вивчив латинську мову. Після латинської Лейбніц швидко вивчив і грецьку мову. У 14 років він часто висту­пав на вечорах у гімназії, де вчився, з власними віршами, на­писаними латинською або грецькою мовами. У 15 років він став студентом Лейпцігського університету, але, щоб кра­ще вивчити математику, переїхав до Ієни. У 17 років Лейбніц дістав звання бакалавра, а через рік — ступінь магістра філософії. У 20 років Лейбніц уже був доктором права.

Наукова діяльність Лейбніца багатогранна. Він, напри­клад, мріяв про створення засобами математичної сим­воліки єдиної мови, спільної для всіх наук.

Та найвизначніших успіхів, водночас з Ньютоном і неза­лежно від нього, Лейбніц досяг у розробці основ дифе­ренціального і інтегрального числення. У своїх математич­них працях учений виклав відповідні правила без доведень, відразу показуючи їх практичне застосування. Часом дуже важко відокремити те, що зробив Лейбніц, від того, що створив Ньютон, у розвитку математики як науки.

Через два роки (1686) вийшла друга праця вченого «Про приховану геометрію». У ній викладене інтегрування бага­тьох елементарних функцій.

Диференціальне та інтегральне числення як закони дій над змінними величинами виявилися дуже корисними не тільки для математики, а й для розв 'язання багатьох практичних задач з фізики, механіки, геодезії тощо.

Творчість Лейбніца мала величезне значення для розвитку світової науки.

Обставини смерті цієї видатної людини загадкові. 14 листопада 1716 року вчений почував себе гірше, ніж звичай­но. Зайшов провідати його давній знайомий — єзуїт, який приніс саморобні ліки — настойку з якогось зілля. Лейбніц випив її, але відразу став почуватися гірше. Поки розшука­ли і привели лікаря, вчений помер. За труною людини, яка в свій час була гордістю Європейської науки, йшла тільки од­на особа — секретар ученого.

 

 

 

V      ПІДСУМОК УРОКУ

1. Як можна обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній?

2. Яка фігура називається криволінійною трапецією?

3. Що називається визначеним інтегралом?

4. Пояснити позначення інтеграла.

5. Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

 

VІ    ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

1. Конспект.

2. Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , , y=0.

3. Знайти визначений інтеграл, якщо підінтегральна функція  є кусково-лінійною і задана формулою:

4. Повторити графіки елементарних функцій.

 

ХІД УРОКУ

І ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

V ПІДСУМОК

Повторити властивості визначеного інтегралу за таблицею.

VІ ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

1. Конспект.

2.                  відповідь: 60

     відповідь:

          відповідь:

ХІД УРОКУ

І ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

V     ПІДСУМОК  УРОКУ

Логічний диктант

1. Операція інтегрування – це обернена операція до знаходження похідної

2. Дві первісні функції для однієї і тієї же функції відрізняються одна від другої сталими доданками

3. Формула Ньютона-Лейбніца має вигляд:

4. Одна із властивостей інтеграла має вигляд:

5. Якщо f(х) неперервна і невід’ємна на відрізку [a;b], то  дорівнює площі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком даної функції.

6. Якщо v=f(t) – функція, яка описує швидкість тіла у кожний момент часу t на [t₁;t₂], визначений інтеграл дорівнює шляху, яке тіло пройшло за відрізок t₂-t₁.

 

Відповіді:

1. так

2. так

3. ні

4. так

5. так

6. так

VІ      ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

1. Конспект

2.

 

Розв`язання домашнього завдання

1.

2.

 

3. Функція  неперервна на проміжку [0;1] і набуває тільки невід’ємних значень, тобто побудована криволінійна трапеція. Можна знайти площу за формулою

                

        1                                                               

ХІД УРОКУ

І   ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

V        ПІДСУМОК УРОКУ

VІ  ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

1. Конспект

2. Обчислити площу фігури, обмеженої заданими лініями

а) , , ,

б) ,

 

ХІД УРОКУ

І   ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

V      ПІДСУМОК УРОКУ

№ з/п	Величини	Знаходження похідної	Знаходження первісної
1	S – переміщення v - швидкість
2	A – робота F – сила
3	m – маса тонкого стержня ρ – густина
4	q – електричний заряд І – сила струму
5	Q – кількість теплоти С – теплоємність
6	А – робота N – потужність
7	v – швидкість руху а – прискорення

 

  VІ    ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

1. Конспект

2. Домашня самостійна робота

 

Контрольна робота № 3.

Мета: перевірити рівень засвоєння знань учнів із теми «Інтеграл та його застосування», якість сформованих умінь застосовувати зміст основних понять та формул під час розв`язування задач, передбачених програмою з математики; розвивати в учнів спостережливість, уміння проводити логічні міркування, вчити користуватися словесною, символічною і графічною мовами математики; виховувати охайність при виконанні креслень і записів.

Тип уроку: контроль рівня засвоєння знань і вмінь

ХІД УРОКУ

І   ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

Початковий рівень

Виберіть правильний варіант відповіді

1. Укажіть первісну функції f(х)=х⁵, якщо відомо, що :

а)         б)       в)       г)

 

2. Порівняйте  і  враховуючи, що  площа відповідної криволінійної трапеції. Графіки функцій   і   зображені на рисунку.

 

а)   

 б)                                             

 в)      

 

3. Укажіть вираз для обчислення площі криволінійної трапеції, яку зображено на рисунку, враховуючи, що

а)         б)     

в)        г)

 

Середній рівень

4. Знайдіть для функції f(х)=2х первісну, графік якої проходить через точку М(0;1)

5. Знайдіть загальний вигляд первісних таких функцій:

а)                              б)                   

6. Відомо, що . Знайдіть функцію            

                                                           

Достатній рівень

7. Обчисліть інтеграли:

а)                                        б)

8. Обчисліть шлях, що пройде матеріальна точка за 4 секунди, рахуючи від початку руху (t=0), якщо її швидкість руху задано рівнянням   (t – у секундах, v – у сантиметрах на секунду).

9. Обчисліть площу фігури, обмеженої віссю Оx і кривою

 

Високий рівень

10. Обчисліть інтеграл:

а)                      б)                              

11. Обчисліть площу  фігури обмеженої лініями

  і

ІІ варіант

Початковий рівень

Виберіть правильний варіант відповіді

1. Укажіть первісну функції , якщо відомо, що :

а)         б)       в)       г)

 

2. Порівняйте  і  враховуючи, що    площа відповідної криволінійної трапеції. Графіки функцій   і   зображені на рисунку

а)             

б)          в)        

 

3. Укажіть вираз для обчислення площі криволінійної трапеції, яку зображено на рисунку, враховуючи, що

а)         б)     

в)        г)

 

Середній рівень

4. Знайдіть для функції f(х)=-2х первісну, графік якої проходить через точку М(0;-1)

5. Знайдіть загальний вигляд первісних таких функцій:

а)                             б)                            

6. Відомо, що . Знайдіть функцію            

                                                           

Достатній рівень

7. Обчисліть інтеграли:

а)                                        б)

8. Швидкість руху точки задається рівнянням . Знайдіть рівняння руху , якщо в момент часу t=3с точка знаходилася на відстані s=42м (швидкість тіла вимірюється в метрах за секунду).

9. Обчисліть площу фігури, обмеженої віссю Оx і кривою

 

Високий рівень

10. Обчисліть інтеграл:

а)                      б)                          

11. Обчиліть площу  фігури обмеженої лініями

  , , х=-2 і х=2.

 

ТЕСТ «Інтеграл та його застосування»

1. Яка з функцій є первісною для функції ?

а) ;                                    б) ;

в) ;                                     в) .

2. Яка з функцій є первісною для функції ?

а) ;                                    б) ;

в) ;                                    в) .

3. Яка з функцій є такою, що ?

а) ;                                           б ) ;

в) ;                                    г) .

4. Яка з функцій є такою, що ?

а) ;                               б) ;

в) ;                                  г) .

5. Укажіть для функції  первісну, графік якої проходить через точку М(0;1)?

а) ;                                          в) ;

б) ;                                        г) .

6. Яку з фігур, зображених на малюнку, можна назвати криволінійною трапецією?

а) 1;          б) 2;                                 в) 3;                                г) 4.

           1                               2                3              4

7. Якими лініями обмежена фігура, зображена на рисунку?

а ) ;

б) ;

в) ;

г) .

8. Якими лініями обмежена фігура, зображена на рисунку?

а) ;

б) ;

в ) ;

г) .

9. Укажіть вираз для обчислення площі криволінійної трапеції, яку зображено на рисунку, враховуючи, що :

а) ;

б) ;

в) ;

г ) .

10. Обчисліть інтеграл .

а) 4;                                                         в ) 16;

б) 8;                                                         г) -4.

11. Обчисліть інтеграл .

а) 1;                                                         в) -1;

б ) 0;                                                         г) -2.

12. Обчисліть інтеграл .

а ) ;                                                       в) 1;

б) ;                                                     г) -3.

№ запитання
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
б	а	б	а	г	б	а	в	г	в	б	а

 

Література

1. Програма для загальноосвітніх закладів. Математика 10-11 класи (рівень стандарту) Міністерство освіти і науки Україні 2010 р.

2. Математика 11 кл. (рівень стандарту), Г.П.Бевз,В.Г.Бевз, К.:Генеза, 2011,

3. Алгебра і початки аналізу в таблицях. 11 клас., Т.Г.Роєва, Н.Ф.Хроленко, Х.:Країна мрій^ТМ, 2002

4. Алгебра в таблицях., Є.П.Нелін, Х.:Світ дитинства,1998, Рекомендовано Головним управлінням загальної середньої освіти Міністерства освіти України

5. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11 клас. О.С.Істер, О.І. Глобін, І.Є.Панкратова. – К.: Центр навчально-методичної літератури, 2012

6. Усі уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. Академічний рівень., С.П. Бабенко – Х.: Вид. група «Основа», 2011

7. Математика. Експрес-підготовка. ЗНО-2011. Є.П. Нелін. – К.: Літера ЛТД, 2011

8. http://metodportal.net/

9. http://free-book.com.ua/

 

Миколаївський професійний промисловий ліцей

Петращук Олена Миколаївна

 

 

Методичний посібник

 

Миколаїв 2012

 

 

Петращук О.М.

Викладач математики МППЛ