Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичной формой  действительных переменных называется выражение вида

где  числа (коэффициенты квадратичной формы). При этом матрица  называется матрицей квадратичной формы (заметим, что она является симметрической:  Используя эту матрицу, можно записать квадратичную форму кратко так:  где  вектор-столбец. Определитель матрицы  и её ранг называются соответственно определителем и рангом квадратичной формы.

Посмотрим, как преобразуется квадратичная форма при линейном преобразовании. Пусть дана квадратичная форма . Сделаем в ней преобразование  будем иметь

 Если матрица  является невырожденной, то матрицы  и  называются конгруэнтыми. Так же называются исоответствующие квадратичные квадратичные формы.   Нетрудно показать, что определители   конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки, а сами конгруэнтные матрицы имеют одинаковые ранги.

Теорема 4. Любую действительную квадратичную форму     ортогональным линейным преобразованием   можно привести к каноническому виду

При этом  собственные значения матрицы столбцы  матрицы  являются собственными векторами матрицы соответствующими этим собственным значениям, причем они образуют ортонормированный базис в пространстве      

Теорема 5. Любую действительную квадратичную форму   можно  линейным невырожденным преобразованием  привести к нормальному виду [5]

                                          

где ранг квадратичной формы. При этом число положительных и число отрицательных

квадратов в (1) не зависит от выбора преобразования (закон инерции квадратичных форм).

Следствие 2. Любая действительная симметрическая матрица  ортогонально-подобна диагональной матрице, т.е.  где ортогональная матрица,  При этом спектр матрицы а столбцы  являются собственными векторами матрицы  

 Заметим, что канонический и нормальный вид квадратичной формы определяются неоднозначно. Однако число положительных и число отрицательных квадратов во всех видах остаются неизменными (закон инерции квадратичных форм).

Пример 1. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

 

Решение. Квадратичную форму можно записать в виде

Находим собственные значения матрицы  

Вычисляем собственные векторы матрицы  для чего решаем систему  при  Получим собственные векторы

образующие базис в  Он является ортогональным базисом в  но не ортонормированным. Нормируем собственные векторы, поделив их на их длины:

Теперь преобразующая матрица и ее обратная имеют вид

Следовательно, преобразование  приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду . Сделав еще одно преобразование  приведем квадратичную форму к нормальному виду   

Дадим еще один способ приведения квадратичной формы к нормальному виду, называемый методом Лагранжа. Продемонстрируем его на том же примере  Назовем главной переменной ту, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени.

Это переменная Выделяем по ней полный квадрат:

Делаем замены переменных:  Будем иметь  Это и есть нормальный вид квадратичной формы. Чтобы найти преобразование  приводящее квадратичную форму  к нормальной форме, найдем обратную замену переменных:

Следовательно, матрица преобразования к нормальному виду будет такой:

 

Действительно, .