Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Особые случаи расположения плоскости в пространстве

Следующие утверждения проверяются непосредственно.

   Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная  то эта плоскость параллельна оси  Аналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных  

 Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат  

 Простейшие уравнения  являются уравнениями координатных плоскостей  соответственно.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторы Вспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения.

Замечание 1. Если то плоскости   и   совпадают.

Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями  и  Используя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол:

Другой двугранный угол будет равен  

Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы

     Определение 6. Говорят, что квадратная матрица   обратима, если существует квадратная матрица  (той же размерности) такая, что  При этом матрица  называется обратной к матрице  и обозначается    

Нетрудно показать, что если матрица  обратима, то она имеет единственную обратную матрицу    

Теорема 1. Для того чтобы матрица   была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю (в этом случае матрица   называется невырожденной или неособой матрицей). При этом её обратная матрица имеет вид

где алгебраическое дополнение элемента  матрицы  

Например,

 (эту формулу полезно запомнить),

    

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Дадим определения этих произведений в краткой форме.

а) Скалярное произведение векторов  и    

б) Векторное произведение векторов  и

- есть вектор удовлетворяющий требованиям:

1) 2) 3)тройка  правая, т.е. кратчайший поворот от вектора  к вектору  имеющих общее начало, виден из конца вектора  (с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки.

в) Смешанное произведение векторов  

Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность):  То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо  пишем просто 0). 

 Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).

  Скалярное произведение   векторов  и   равно нулю когда векторы  и   ортогональны друг другу.

 Векторное произведение   равно нулю  когда векторы  и  коллинеарны.

Смешанное произведение   равно нулю  когда векторы ,  и  компланарны (т.е. все они  либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях).

 

Геометрический смысл: а) модуль  векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и ; б) модуль  смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:

Теорема 4. Если векторы  и  заданы своими координатами   в базисе  то имеют место формулы:

а)  (скалярное произведение;)

б) (векторное произведение);

в)  (смешанное произведение).

 Доказательство  проведем лишь для скалярного произведения. Имеем

Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителями  не равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формула  Теорема доказана.

 

 

 

 

  

 

Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве

Сначала заметим, что множество всех точек  удовлетворяющих уравнению  (если его можно разрешить относительно хотя бы одной из переменных ) является уравнением некоторой поверхности . Это означает, что любая точка

 удовлетворяет уравнению  и, напротив, если то она не удовлетворяет этому уравнению.

1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках

Пусть в пространстве  задана плоскость  и пусть  фиксированная точка, а  произвольная (текущая) точка этой плоскости. Посмотрим, какому уравнению будет подчинена произвольная точка  плоскости  Пусть  вектор нормали к плоскости  Так как  то скалярное произведение  

Мы получили

  уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку  с вектором нормали                                              (1)

Раскроем в (1) скобки и обозначим  Получим

  общее уравнение плоскости:                                                                      
Имеет место следующее очевидное утверждение.

Теорема 1. Любое линейное уравнение (2) задаёт в пространстве   плоскость с вектором нормали  И обратно: любая плоскость в описывается линейным уравнением (2).

Если числа  не равны нулю, то уравнение  называют “ уравнением плоскости в отрезках” (впредь кавычки будем опускать). При этом  являются величинами (с учётом знака) отрезков, отсекаемых плоскостью от осей  соответст-венно. Эта плоскость проходит через точки  факт, удобный при изображении этой плоскости в пространстве. Из общего уравнения (2) плоскости легко получить ее уравнение в отрезках:  (если, конечно, числа, записанные в знаменателях, существуют).