Евклидовы и метрические пространства

Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел  

Определение 1. Пространство  называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов  и  определено число  называемое скалярным произведением  и , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. П.О. 2. С. 3. Л.  

(здесь произвольные векторы, произвольные числа).

Например, обычное скалярное произведение  в геометрическом пространстве  трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство (  мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением

также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой  и мы будем пользоваться этим обозначением.

Если линейное пространство над множеством комплексных чисел   и если в нем введено скалярное произведение  удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам

 

то пространство  называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение: ). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.

Определение 2. Два вектора  называются ортогональными, если

Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в  линейно независима. Действительно, пусть . Умножая это равенство скалярно на  будем иметь

Таким образом, равенство  выполняется тогда и только тогда, когда все числа  одновременно равны нулю. Это означает, что векторы   линейно независимы.

Определение 3.  Базис    пространства  называется ортонормированным, если

Например, базис   в пространстве  является ортонормированным.

Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 4. Линейное пространство  называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов  и  определено число называемое расстоянием между  и  (или метрикой в ), обладающее следующими свойствами:

4. П.О.  5. С.   6. Т.  

 ( произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство  является одновременно и метрическим пространством с метрикой  (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число  называется длиной (или нормой) вектора  Так что  в евклидовом пространстве

В любом евклидовом пространстве  имеет место неравенство Коши-Буняковского:

Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами  и  

Теорема 1. В любом евклидовом пространстве  размерности  существует ортонормированный базис   . Координаты   вектора  в этом базисе имеют вид

  Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство на будем иметь

Теорема доказана.

Введем следующее важное понятие.

Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве  называется сопряженным к оператору если для всех

 имеет место равенство  Обозначение:  

  Теорема 2. В любом ортонормированном базисе  унитарного пространства  матрица  оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора  т.е. если  матрица оператора  то матрицей оператора  будет матрица  

И, наконец, заметим, что квадратная матрица  называется симметрической,  т.е.   Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.

 

2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Матрица   ( -й столбец) называется ортогональной, если ее столбцы  образуют ортонормированную систему, т.е.  

Например, матрица  является ортогональной.

Теорема 3. Для того чтобы матрица  была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы  

Следствие 1. Ортогональная матрица  обладает следующими свойствами:

1)  2) матрицы  ортогональные. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.     

Определение 6. Линейное преобразование (оператор)   называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе  пространства  его матрица является ортогональной.

    Теорема 3. Имеют место следующие свойства ортогональных преобразований:

1. Преобразование   ортогонально тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.

2. Ортогональное преобразование   не изменяет скалярного преобразования, т.е.         

3. При ортогональном преобразовании не изменяется длина (норма) вектора, а так же угол между векторами, т.е.  

4. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.