Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц
Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства. Определение 1. Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа). Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства . Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ). Определение 2. Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства[3]: а) б) Свойства а) и б) можно объединить в одно: Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как
Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно, Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором. Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами: (при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов. Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть оператор является линейныым и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде
Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде
Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно. Определение 3. Матрицей оператора в базисе называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа (образа го базисного вектора пространства ) в базисе Пример 3. Пусть пространство является пространством квадратных трехчленов: = = Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 2. Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов ( числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе). Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме
Его решением является вектор-столбец
Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .
Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства Решение. Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы: Вычисляем матрицу
Значит,
Лекция 6. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Ядро и образ оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов В предыдущей лекции были определены две алгебры: алгебра линейных операторов и алгебра матриц. Было отмечено, что обе эти алгебры взаимосвязаны между собой и что при решении операторных уравнений можно пользоваться соответствующими им матричными уравнениями. Однако не был затронут вопрос об изменении матрицы оператора и координат вектора при переходе к новому базису. Восполним этот пробел.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 122; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.134.29 (0.024 с.) |