Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

 

Пусть дан линейный оператор ( линейное пространство над числовом полем [4] ).      

Определение 2. Вектор  называется собственным вектором, соответствующим собственному значению , если: а)  б)    Совокупность всех различных собственных значений оператора   называют спектром оператора . Обозначение:  

Например, если  матрица  то вектор  является собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению  так как  При этом

Отметим очевидное свойство собственных векторов: если   собственный вектор оператора  соответствующий собственному значению то тоже собственный вектор оператора  соответствующий собственному значению  В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов.

Свойства собственных векторов.

1) собственные векторы  соответствующие различным собственным значениям  линейно независимы.

2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению , образуют линейное подпространство в  (его называют собственным пространством оператора  отвечающим собственному значению ).

3) В пространстве  любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве  некоторый базис  и вычислим матрицу  оператора   в этом базисе. Тогда операторное уравнение  (с учетом того, где ) можно записать в матричном виде

        

Эта система должна иметь нетривиальное решение  поэтому ее определитель  должен равняться нулю                                       

              

Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы  (или оператора  ). Раскрывая его, получим так называемое   характеристическое уравнение , решая которое, найдем собственные значения  матрицы  (или оператора  ). Положив в (4)  и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца  , найдем все собственные векторы  соответствующие собственному значению  матрицы  Затем по формуле  вычислим собственные векторы оператора , соответствующие собственному значению

Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.    

   Теорема 4. Если оператор  имеет в поле  различных собственных значений , то собственные векторы соответсвующие этим значениям, образуют базис в  Матрица  оператора  в этом базисе будет диагональной:

Замечание 2. Оператор    называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в  существует базис, в котором матрица  этого оператора диагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор , имеющий в в поле   различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея  различных собственных значений. Например, единичная матрица размерности   диагонализируема, но она имеет только одно собственное значение  кратности  В этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению  

Докажем теперь следующий важный результат.

Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть матрицы  и  подобны. Тогда существует невырожденная матрица  такая что  Поэтому  Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что  

 Учитывая, что  получаем отсюда равенство  которое показывает, что характеристические уравнения матриц  и  совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.

 

 

 

Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса

В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий.