Ранг матриц. Теорема о базисном миноре

Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы.

Определение 6. Строки  называются линейно зависимыми, если существуют числа   не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство

                                            

Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числа   одновременно равны нулю (), то строки  называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов.

Например, строки  линейно зависимы, так как

(здесь ), а столбцы  линейно независимы, так как

Введем теперь следующее важное понятие.

Определение 7. Рангом произвольной матрицы   (размера )   называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение:  

Например, ранг матрицы  равен 1, так как только один столбец этой матрицы (любой) линейно независим, а два столбца линейно зависимы.

 Пусть дана произвольная матрица . Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Определение 8. Базисным минором матрицы  называется такой отличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы  порядка выше го равны нулю.  

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы   равен порядку базисного минора этой матрицы.

Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк. Из теоремы о базисном миноре также вытекает, что ранг матрицы ступенчатого вида равен числу её опорных элементов.

 

 

Лекция 4. Элементарные преобразования и приведение матрицы к ступенчатому виду. Линейные системы алгебраических уравнений. Линейное пространство, размерность, базис. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной и неоднородной систем уравнений. Метод Гаусса решения алгебраических систем уравнений

В основе решения систем линейных уравнений лежат два метода – метод Крамера и метод Гаусса, к изложению которых мы переходим.

1. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования:

1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк.

Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме).

Например,

Здесь мы проделали следующие операции:

1) К второй строке матрицы  прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы  отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу  

2) К третьей строке матрицы  прибавили ее вторую строку; получили матрицу  ступенчатого вида (трапециевидной формы).