Турбулентное течение. Число Рейнольдса

Беспорядочное движение частиц жидкости может привести к развитию неравномерного течения жидкости в трубке, которое называют турбулентным течением. При таких условиях частицы жидкости не остаются в определенном слое, а быстро перемещаются в радиальном направлении (рис. 8.14).

Предсказать, каким будет течение жидкости - турбулентным или ламинарным - при заданных условиях можно с помощью безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

 

,

 

где  - плотность жидкости, D - диаметр трубки,  - средняя по сечению скорость,  - вязкость. При  течение жидкости обычно ламинарное, при  - турбулентное. Таким образом, поток становится турбулентным при:

1) его высокой линейной скорости,

2) низкой вязкости,

3) высокой плотности жидкости,

4) большом диаметре трубки,

5) неровных стенках трубки.

Рис. 8.14

 

 

Глава 9

Механика твердого тела

Деформация тела

Во многих случаях приложенная к телу сила изменяет его форму и объем. Другими словами, действие силы может создавать деформацию тела. Деформация объясняется тем, что внешнее механическое воздействие на тело вызывает изменение взаимных положений его атомов или молекул.

Деформация называется упругой в том случае, когда после снятия нагрузки (т.е. после прекращения действия сил) форма тела восстанавливается, деформация исчезает.

Деформация называется неупругой или пластической, если форма тела не восстанавливается после снятия нагрузки, т.е. тело приобрело остаточную деформацию.

При изменении условий (температуры, нагрузки) упругое тело может перейти в состояние пластической деформации, и наоборот. Например, упругая стальная пружина при высоких температурах становится пластической, а резина при сверхнизких температурах приобретает свойства упругого тела.

Самые простые виды деформации - растяжение и сжатие. Растяжение или сжатие испытывает прямоугольный брусок, если к его торцу прикладывается сила, направленная вдоль оси бруска. Изгиб испытывает стержень под действием сил или моментов сил, приложенных перпендикулярно его оси. Деформация изгиба сводится к деформациям сжатия в элементах вогнутой части тела и деформациям растяжения в элементах выпуклой части тела. При сдвиге элементы тел одновременно сжимаются и растягиваются в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Все эти виды деформации, а также многие другие (кручение, всестороннее сжатие и растяжение и т. д.) рассматриваются в курсе «Сопротивление материалов».

 

 

Закон Гука

 

Рассмотрим случай растяжения упругого стержня. Предположим, что один конец стержня закреплен, а к другому приложена сила F (рис. 9.1). В результате этого стержень растягивается, и длина его  увеличивается на величину . Относительной деформацией  называется величина, численно равная отношению приращения размера тела к начальному значению размера:

.

 

Проведем сечение S, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия части стержня выше сечения необходимо, чтобы на его основание действовала сила упругости , с которой нижняя часть стержня тянет верхнюю. Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня деформирована. Физическая величина, равная отношению модуля силы упругости  к площади поперечного сечения S тела, называется механическим напряжением :

.

 

Единицей механического напряжения является .

При малых деформациях механическое напряжение  прямо пропорционально относительной деформации  (закон Гука):

.

Рис. 9.1

 

Коэффициент пропорциональности E в законе Гука называется модулем упругости (модулем Юнга). Модуль упругости одинаков для образцов любой формы и размеров, изготовленных из одного материала.

 

 

Диаграмма растяжения тела

 

Зависимость напряжения  от относительной деформации  является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения. По оси ординат откладывается механическое напряжение , по оси абсцисс - относительная деформация  (рис. 9.2).

Закон Гука выполняется при небольших деформациях. Максимальное механическое напряжение , при котором еще выполняется пропорциональность между  и  (линейный участок графика 0-1), называется пределом упругости.

При увеличении нагрузки выше предела упругости (участок 1-2) тело теряет свойства упругости и ведет себя как пластическое.

Когда напряжение повысится до значения, соответствующего точке 2, у тела появляются свойства текучести - длина его увеличивается без увеличения нагрузки (горизонтальный участок 2-3). Напряжение , когда в теле возникает явление текучести, называется пределом текучести.

Точке 4 соответствует предел прочности  - это максимальное механическое напряжение, при котором еще не происходит разрушения тела.

 

Рис. 9.2

Глава 10

Электричество и магнетизм

Электрическое поле

Все тела состоят из атомов. Атом, в свою очередь, состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его отрицательно заряженных электронов. В целом атом электрически нейтрален. Однако под влиянием каких-либо причин атомы могут терять или присоединять электроны, становясь положительно или отрицательно заряженными ионами. Таким образом, электрические заряды обычно существуют в виде электронов и положительно или отрицательно заряженных ионов.

Единицей заряда является кулон: . Элементарный заряд - это заряд электрона, равный по абсолютной величине .

Рис. 10.1

 

Наблюдения показывают, что разноименные заряженные тела притягиваются, а одноименные отталкиваются. Исследуя законы взаимодействия заряженных металлических шариков, Ш. Кулон (1785) установил, что сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (закон Кулона) (рис. 10.1):

 

 ,

 

где ,  - величины зарядов, r - расстояние между ними,  - коэффициент пропорциональности,  - фундаментальная электрическая постоянная.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Это означает, что всякий электрический заряд определенным образом изменяет свойства окружающего пространства - создает поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный» заряд  испытывает действие силы.

Основной силовой характеристикой электрического поля является напряженность. Напряженность E электрического поля - это векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля и направленной в сторону действия силы (рис. 10.2):

 

.

 

Единица измерения напряженности электрического поля: .

 

Рис. 10.2

 

Напряженность поля точечного заряда q:

 

.

 

Электрическое поле можно представить с помощью силовых линий. Силовая линия напряженности электрического поля - это линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля E (рис. 10.3). Силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному и не пересекаются.

Рис. 10.3

 

На рис. 10.4 представлена совокупность силовых линий уединенных положительного (а) и отрицательного (б) зарядов, на рис. 10.5 - силовые линии системы двух разноименных зарядов, на рис. 10.6 - силовые линии в пространстве между двумя разноименно заряженными близкорасположенными пластинами.

Рис. 10.4

 

Рис. 10.5		Рис. 10.6

 

Работа сил электрического поля при движении в нем заряда по замкнутой траектории равна нулю. Следовательно, электрическое поле является потенциальным, а работа A сил поля равна убыли потенциальной энергии W заряда в нем:

 

; , .

В рассматриваемой точке поля разные заряды  обладают разной потенциальной энергией W, но отношение потенциальной энергии к заряду для данной точки поля оказывается величиной постоянной. Эту величину называют потенциалом электрического поля.

Потенциалом  электрического поля называется физическая величина, равная потенциальной энергии W единичного положительного заряда в данной точке поля:

 

;      (вольт).

 

На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, равен нулю. В расчетах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. Так как , то . Отсюда следует другое определение потенциала: потенциал  в данной точке поля численно равен работе, которую совершают силы поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Из формулы, по которой определяется потенциал, следует, что , тогда имеем

 

.

 

Откуда для разности потенциалов получаем выражение,

 

.

 

Разность потенциалов называют электрическим напряжением ,  (вольт).

Потенциал электрического поля точечного заряда:

 

.

 

Между напряженностью и разностью потенциалов электрического поля имеется формула связи:

 

,

 

где  - бесконечно малое перемещение вдоль силовой линии (элементарное перемещение),  - проекция вектора напряженности на направление вектора элементарного перемещения,  - убыль потенциала на элементарном перемещении . В однородном электрическом поле, в каждой точке которого напряженность имеет одно и то же значение, данное соотношение имеет вид:

 

,

 

где d - расстояние между точками, между которыми определяется напряжение U.

Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, во всех точках которой потенциал  имеет одно и то же значение. Силовые линии (непрерывные линии на рис. 10.7) всюду перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (отмечены пунктиром) и направлены в сторону уменьшения потенциала.

На рис. 10.8 пунктиром изображено пересечение эквипотенциальных поверхностей с плоскостью чертежа для уединенного заряда (а) и для поля между двумя разноименно заряженными пластинами.

Рис. 10.7	Рис. 10.8

 

Свойство проводника удерживать на поверхности электрические заряды связывают с величиной, называемой электроемкостью. Электроемкость C уединенного проводника - это величина, численно равная заряду q, сообщение которого проводнику повышает его потенциал  на единицу:

;       (фарад).

 

На практике широко используется устройство, состоящее из двух близко расположенных параллельных проводящих поверхностей (обкладок), разделенных слоем диэлектрика (рис. 10.9). Такое устройство называют конденсатором.

Рис. 10.9

 

Электроемкость конденсатора - это отношение заряда одной из его обкладок к напряжению между ними:

.

Электроемкость плоского конденсатора вычисляется по формуле:

 

,

 

где  - диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между обкладками конденсатора, S - площадь обкладки, d - расстояние между обкладками.

Энергия W конденсатора электроемкостью C, заряженного до напряжения U, равна

.

Электрический диполь

Электрический диполь - это система из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов  и , расположенных на некотором расстоянии l.

Электрическим моментом p диполя называется произведение абсолютной величины заряда q на вектор l (рис. 10.10):

 

;     .

 

Рис. 10.10

 

Потенциал  поля электрического диполя в точке A, находящейся на расстоянии  от него, равен алгебраической сумме потенциалов положительного и отрицательного зарядов в данной точке (рис. 10.11):

 

.

 

Предположим, что , , , , тогда для потенциала имеем:

 

или

,

 

где  - проекция вектора p момента диполя на направление радиус-вектора точки A.

Рис. 1 0.11

 

 

Электрический ток

Упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов называется электрическим током. Носителями тока в металлах являются электроны, в проводящих растворах - положительные и отрицательные ионы, в газах - как ионы, так и электроны. Для получения электрического тока в проводнике необходимо создать в нем электрическое поле (разность потенциалов), под действием которого свободные заряды помимо хаотического теплового движения также будут совершать направленное движение (рис. 10.12). Например, если соединить проводником разноименно заряженные тела, то в нем возникает кратковременный электрический ток. Этот ток сохраняется до тех пор, пока перемещение зарядов внутри проводника не приведет к выравниванию потенциалов на его концах.

 

Рис. 1 0.12

Сила тока I - это величина электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за единицу времени:

 

;        (ампер).

 

Сила тока в проводнике измеряется с помощью амперметра.

Электрический ток называется постоянным, если его направление и сила не изменяются с течением времени.

Плотность j постоянного электрического тока - это количество заряда, переносимого через единичную площадь перпендикулярно сечению проводника за единицу времени:

 

;          .

 

Разность потенциалов  на концах проводника называется электрическим напряжением U,  (вольт). Для определения напряжения используют вольтметр.

Электрическое сопротивление R - это величина, характеризующая противодействие проводника электрическому току. Единица сопротивления - .

Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий электрическую лампочку сопротивлением R (рис. 10.13). Опыт показывает, что сила тока, проходящая через лампочку, пропорциональна приложенному к ней напряжению (см. график на рис. 10.13).

 

 

Рис. 1 0.13

В общем случае линейная зависимость силы тока I на участке цепи от напряжения U выражается законом Ома:

 

.

 

Сопротивление R однородного проводника прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади S поперечного сечения:

 

,    ,

 

где  - удельное сопротивление вещества проводника, .

При последовательном соединении проводников (рис. 10.14) полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений всех проводников: . При параллельном соединении (рис. 10.15) величина, обратная полному сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех параллельно включенных проводников: .

Рис. 10.14		Рис. 10.15

 

Электрические заряды перемещаются в проводнике под действием сил электрического поля, которое совершает над ними работу. Работа A сил электрического поля (работа тока) на участке цепи с электрическим сопротивлением R за время t равна:

 

.

 

Мощность электрического тока равна отношению работы тока A ко времени t, за которое эта работа совершена:

 

;  (ватт).

 

В конечном итоге, совершаемая электрическим полем работа приводит к нагреванию проводника. Поэтому количество теплоты, выделяемое проводником с током, равно работе тока (закон Джоуля-Ленца):

 

.

 

Для поддержания электрического тока в цепи необходимо наличие источника напряжения, который бы разделял электрические заряды, создавая тем самым электрическое поле в проводнике. Такое разделение зарядов возможно только за счет так называемых сторонних сил неэлектростатического происхождения. Примером источника постоянного напряжения может служить аккумулятор. Создаваемое на его зажимах напряжение возникает за счет химических реакций между электродами и электролитом.

Для характеристики способности сторонних сил создавать постоянную разность потенциалов (напряжение) на полюсах источника вводят понятие электродвижущей силы. Электродвижущая сила (ЭДС) источника  равна работе сторонних сил  по перемещению единичного положительного заряда q:

 

;   .

 

Полная (замкнутая) цепь - это проводник, по которому протекает электрический ток и подключенный к нему источник (рис. 10.16). Закон Ома для замкнутой цепи:

 

,

 

где  - ЭДС источника, R - сопротивление внешней цепи, r - сопротивление источника.

Рис. 1 0.16

 

Магнитное поле

Известно, что в природе существуют постоянные магниты, у которых разноименные полюсы притягиваются, а одноименные отталкиваются. Опыт показывает, что магнитная стрелка поворачивается при пропускании электрического тока через проводник, находящийся около нее. Установлено также, что два проводника с током испытывают взаимное притяжение при пропускании через них электрического тока в одном направлении и отталкивание, если токи имеют противоположное направление. Подобные явления получили название магнитного взаимодействия. Причина возникновения магнитного взаимодействия заключается в наличии вокруг проводников с током магнитного поля. Магнитное поле порождается движущимися электрическими зарядами, и оно действует только на движущиеся в нем заряды.

На небольшую рамку с током в магнитном поле действует пара сил, создающих вращающий момент M, который зависит от направления рамки в магнитном поле (рис. 10.17). Отношение максимального момента сил , действующего на рамку с током со стороны магнитного поля, к произведению силы тока I в рамке на ее площадь S, называется магнитной индукцией:

 

;            (тесла).

 

Магнитная индукция - это векторная величина, характеризующая способность магнитного поля оказывать силовое воздействие на проводник с током.

Величину  называют магнитным моментом рамки (контура) с током (рис. 10.18).

Рис. 1 0.17		Рис. 1 0.18

 

 

Силовая линия магнитной индукции - это линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной. Линии магнитной индукции прямого проводника с током показаны на рис. 10.19, кругового витка с током - на рис. 10.20.

 

Рис. 10.19		Рис. 10.20

 

 

Сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током, называется силой Ампера. При расположении проводника с током (рис. 10.21) под углом  к вектору магнитной индукции B сила Ампера определяется выражением:

 

,

 

где I - сила тока, l - длина проводника. Направление силы Ампера определяется правилом левой руки.

Действие магнитного поля на проводник с током означает, что магнитное поле влияет на движущиеся электрические заряды. Сила F, действующая на заряд q, движущийся со скоростью  в магнитном поле с индукцией В, называется силой Лоренца:

 

,

 

где  - угол между вектором скорости v и индукцией В (рис. 10.22).

 

Рис. 1 0.21		Рис. 1 0.22

 

Магнитный поток Ф через плоскую поверхность площадью S (в случае однородного поля):

 

;       (вебер),

 

где  - угол между вектором нормали n к плоскости и вектором магнитной индукции В (рис. 10.23).

Если электрический ток создает магнитное поле, возможно ли, чтобы оно вызывало появление электрического тока в проводнике? М. Фарадей обнаружил, что при изменении магнитного потока, пронизывающего катушку, в ней возникает электрический ток. Этот ток называется индукционным током.

Явление возникновения тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока, охватываемого этим контуром, называется электромагнитной индукцией. Появление электрического тока в замкнутом проводнике указывает на наличии в нем сторонних сил (ЭДС индукции).

При внесении постоянного магнита легкое алюминиевое кольцо отталкивается от него (рис. 10.24), а при удалении притягивается к магниту.

Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать то изменение магнитного потока, которым вызывается данный ток.

Рис. 1 0.23		Рис. 1 0.24

 

Согласно основному закону электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла) ЭДС индукции в замкнутом контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

 

,

 

где  - электродвижущая сила индукции,  - поток через контур.

При замыкании цепи, показанной на рис. 10.25, электрическая лампа, включенная последовательно с катушкой, загорается несколько позже, чем лампа, включенная последовательно с резистором. Такое поведение объясняется возникновением ЭДС самоиндукции. Явление возникновения ЭДС индукции в электрической цепи в результате изменения силы тока в этой цепи называется самоиндукцией.

Рис.1 0.25

Электродвижущая сила самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, равна

 

,

 

где L - индуктивность контура,  (генри). Индуктивность характеризует инерционные свойства контура при изменении силы тока в нем.

ЭДС взаимной индукции (т.е. ЭДС, индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре) определяется по формуле:

 

,

 

где  - взаимная индуктивность контуров.

Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, равна

 

.

 

Глава 11