Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

Жидкость, для которой не учитывается вязкость, называется идеальной. Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости внутри некоторой трубки (рис. 8.1). За промежуток времени  сквозь сечение  на расстояние  пройдет объем жидкости  со скоростью . Аналогично за тот же промежуток времени сквозь сечение  на расстояние  пройдет объем жидкости  со скоростью . Поскольку жидкость несжимаема, то эти объемы одинаковы:

, т.е. ,

 

.

 

Полученное соотношение называют уравнением неразрывности. Из него следует, что линейная скорость жидкости уменьшается с увеличением площади сечения трубки.

Решение многих гидродинамических задач основывается на уравнении Д. Бернулли (1738), устанавливающем связь между давлением p, скоростью  и высотой жидкости h над некоторым нулевым уровнем (рис. 8.2).

 

Рис. 8.1		Рис. 8.2.

 

 

Рассмотрим установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости в узкой трубке между сечениями  и . Кинетическая энергия потока жидкости массой m, протекающего за время  через сечение , равна , а потенциальная энергия - . Соответственно полная механическая энергия потока в сечении : . Аналогично, полная энергия потока жидкости, протекающего за то же время  через сечение : . Работа, которую совершают силы давления, действующие в сечениях  и , определяется по формуле: .

Приращение полной механической энергии потока жидкости равно работе внешних сил, т.е.

 

,

 

.

 

Сократим обе части полученного равенства на  и перегруппируем слагаемые:

 

 .

 

Полученное уравнение называют уравнением Бернулли. В этом уравнении p - статическое давление, оно характеризует давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости;  - динамическое давление, оно обусловлено движением (напором) жидкости;  - гидростатическое давление, создаваемое весом столба жидкости высотой h; g - ускорение свободного падения.

Смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки.

Для горизонтальной трубки переменного сечения (рис. 8.3) уравнение Бернулли имеет вид:

 

.

 

Это подтверждает опыт с манометрическими трубками: , .

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в узком участке трубки станет меньше атмосферного давления, и тогда струя жидкости будет оказывать всасывающее действие на воздух. Данный эффект используется в ингаляторах и аэрозолях (рис. 8.4).

Рис. 8.3		Рис. 8.4

 

Поместим в поток жидкости две измерительные трубки (трубки Пито) (рис. 8.5). В прямой трубке действует только статическое (боковое) давление, которое уравновешивается атмосферным давлением и давлением столба жидкости: . В изогнутой трубке действует статическое и динамическое давление (т.к. частицы жидкости, попадающие в отверстие изогнутой трубки, останавливаются, и их кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию): . Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

 

,

 

, где ,

 

.

 

Таким образом, по разности уровней жидкости в трубках Пито можно определить скорость потока жидкости.

Рис. 8.5