Вынужденные механические колебания

Колебание тела, вызванное и поддерживаемое внешней силой, периодически изменяющейся по величине и направлению, называется вынужденным колебанием, а внешняя сила - вынуждающей силой. Примерами вынужденных колебаний могут являться раскачка маятника внешним периодическим воздействием, колебание барабанной перепонки под действием падающей звуковой волны.

На практике обычно вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

,

где  - циклическая частота вынуждающей силы,  - амплитуда вынуждающей силы.

Если на колеблющееся тело будут действовать одновременно упругая сила  и внешняя вынуждающая сила , то согласно второму закону Ньютона:

 

 

или

 

 (дифференциальное уравнение вынужденных колебаний),

 

где , .

Решением данного дифференциального уравнения является функция

 

,

 

где  - амплитуда вынужденных колебаний.

Из графика  (рис. 6.5) видно, что амплитуда колебаний сильно увеличивается при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте близкой собственной .

Явление быстрого возрастания амплитуды вынужденных колебаний на определенной частоте вынуждающей силы называется резонансом. Частота вынуждающей силы, при которой наступает резонанс, называется резонансной частотой .

Рис. 6.5

 

 

Автоколебания

Автоколебаниями называют незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии внешней периодической силы.

В отличие от вынужденных колебаний, частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от того, как система была «запущена».

Автоколебательная система содержит следующие основные элементы:

1) колебательную систему;

2) источник энергии;

3) устройство обратной связи, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, расходуемой колебательной системой за то же время.

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Колебательная система часов - это маятник; источник энергии - груз, поднятый над землей, или стальная пружина; устройство обратной связи - ходовое колесо и анкер.

 

 

Волны в упругой среде

В той или иной степенью каждое тело обладает упругостью, т.е. способностью восстанавливать свою форму после кратковременного воздействия, приложенной к нему силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие передается телом с конечной скоростью от одной его точки к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространяется с конечной скоростью вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. Пробегающие вдоль тела деформации обычно демонстрируются при помощи пружин (рис. 6.6).

Рис. 6.6

 

Таким образом, если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебание ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от точки к точке с некоторой скоростью. При этом происходит распространение именно возмущения частиц среды, а сами частицы совершают движения около своих положений равновесия.

В общем случае волной называют процесс распространения возмущения в среде. Примеры волн: волны в упругой среде (упругие волны); волны на поверхности жидкости; возмущения электромагнитного поля (электромагнитные волны); волна повышенного давления, распространяющаяся по аорте и артериям в результате выброса крови из левого желудочка (пульсовая волна).

Волна называется гармонической, если положение частиц среды изменяется по закону косинуса или синуса.

Основные характеристики волн:

1) амплитуда волны А - максимальное смещение частиц среды от положения равновесия;

2) период волны Т - период колебаний частиц в волне;

3) частота волны  - частота колебаний частиц в волне;

4) геометрическое место точек среды, имеющих одинаковую фазу колебаний, называют волновой поверхностью; если волновые поверхности имеют вид плоскостей, то волна называется плоской; если волновые поверхности имеют вид сфер, то это сферическая волна;

5) волновой фронт - место, до которого дошло волновое возмущение;

6) фазовая скорость волны  - скорость перемещения в пространстве волнового фронта;

7) длина волны  - расстояние между двумя ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз ; другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний: .

Найдем уравнение плоской гармонической волны. Для этого рассмотрим волну, бегущую в теле вдоль оси 0 x (рис. 6.7). Предположим, что зависимость смещения частицы a, находящейся в начале отсчета, от времени дается уравнением: , где  - циклическая частота колебаний частиц среды. Поскольку волна распространяется в среде с конечной скоростью , волновое возмущение достигнет некоторой произвольной частицы b с координатой x спустя промежуток времени . Следовательно, смещение данной точки равно

 

.

 

Частица b выбрана произвольно, поэтому записанное соотношение представляет собой уравнение плоской гармонической волны.

Рис. 6.7