Элементы интегрального исчисления

 

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Если основной задачей дифференциального исчисления было отыскание производной данной функции, то основной задачей интегрального исчисления является отыскание функции по ее производной.

Функция  называется первообразной для функции , если выполняется тождество . Пример: , , .

В качестве первообразной для функции  можно взять , С –произвольная постоянная, так как .

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом: . Чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции , необходимо записать подынтегральное выражение , найти первообразную  и добавить к ней постоянную C. Пример: .

Правила интегрирования:

1) ;

2) .

 

Таблица неопределенных интегралов:

 

Методы интегрирования:

1) метод замены переменных

, .

Пример: ,

, , , .

2) метод интегрирования по частям: .

Пример: .

Определенный интеграл

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Ox, графиком непрерывной функции  и двумя вертикальными прямыми  и  (рис. 2.1).

Рис. 2.1

 

Разделим основание трапеции  на n частичных интервалов , ,..., , считая что . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси Oy, тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций.

Обозначим , . Возьмем некоторую точку  из малого интервала . Вычислим площадь элементарного прямоугольника с основанием  и высотой : . Сумма площадей всех прямоугольников является приближением для площади криволинейной трапеции:  - интегральная сумма. Причем чем меньше  (больше n), тем это приближение точнее, т.е. .

В общем случае предел, к которому стремится интегральная сумма  при , называется определенным интегралом и обозначается .

Для того чтобы вычислить определенный интеграл от заданной функции , надо: 1) вычислить первообразную для заданной функции ; 2) в полученном выражении подставить , затем  и из первого результата вычесть второй:

. (формула Ньютона-Лейбница)

Пример: .

 

Глава 3

Дифференциальные уравнения

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее в общем случае аргумент, функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков .

Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящего в него.

Пример: обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка .

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения является множество решений, содержащее произвольную постоянную C: .

Решение дифференциального уравнения, не содержащее произвольной постоянной, называется частным. Для его нахождения надо знать так называемые начальные условия, то есть пару значений . Подставляя начальные условия в общее решение, можно определить постоянную интегрирования C. Возвращаем ее значение в общее решение, в результате получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пример: дифференциальное уравнение  имеет общее решение . Пусть начальное условие задано в виде:  при . Тогда из общего решения найдем постоянную C: , . Откуда  - частное решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: . Правая часть этого уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Пример: , , .

Запишем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в виде . Отсюда получим . Найдем интеграл . Решая его, получим выражение , из которого выражаем общее решение .

Пример: решим дифференциальное уравнение  с начальными условиями . Для этого представим уравнение в виде  и далее , ,  - общее решение. Воспользуемся начальными условиями, чтобы найти постоянную интегрирования: , . Тогда  - частное решение.

 

Глава 4