Приводит к канонической форме

ЧАС

Грамм

η = ∑

k

2 = 0

ω

Грамм

0k ~p

Грамм

k ˜p

Грамм

− k + ˜g k ˜g − k

2

= ∑ k

ЧАС

Грамм

K,

(7.33)

ЧАС

Грамм

k =

ω

Грамм

0k

2 [˜

г +

k ˜g

-

− k + ˜g

− k

˜g +

− k

],

(7.34)

Где

Грамм

± k

= [˜g k ∓ i ˜ p k ] / √ 2

(7,35)

являются конформно-инвариантными классическими переменными в голоморфном представлении.

отправка [ 10].

Стр. Решебника 226

Квантование гравитонов по формам Картана 226

В силу формул. (7.31) - (7.35) действие (7.28) принимает вид

W

Грамм

Линь

Знак равно

η 0

∫ η I

d η [ − V 0 (∂ η 〈 D 〉) 2

e − 2 〈 D 〉 - H g

η ]

(7.36)

+

η 0

∫ η I

d η ∑

k

2 = 0 ˜p − k

[ ∂ η ˜g k + ∂ η 〈 D 〉 ˜g k ].

Уравнения эволюции этого действия следующие:

∂ η ˜g

± k

= ± i ω

Грамм

0k ~g

± k + H η ˜g

∓ k,

(7.37)

где H η = ∂ η (lna) = −∂ η 〈 D 〉 - конформный параметр Хаббла (в

наша модель H η = H 0 / a 2).

Эти уравнения принято решать с помощью

Боголюбовские преобразования

˜g +

k

= α k b +

k + β ∗ -k b − -k,

(7.38)

Грамм

− k = α ∗ k b − k + β -k b

+

-k,

(7.39)

α k = coshr

Грамм

k e i θ g

K,

β ∗ k = sinhr

Грамм

k e i θ g

K,

(7,40)

Где r

Грамм

k и θ

Грамм

K - параметры сжатия и вращения, повторно

Таким образом, эти преобразования сохраняют алгебру Гейзенберга O (2 | 1)

[ 12 ] и диагонализуйте уравнения. (7.37) в виде:

∂ η Ь ± к

= ± i ω

Грамм

Bk

б ± к,

(7,41)

Если параметры сжатия r

Грамм

k и вращение θ

Грамм

K удовлетворяют следующим условиям

Стр. Решебника 227

Вакуумное создание аффинных гравитонов

227

уравнения [ 10]:

∂ η r

Грамм

k = H η cos 2 θ

Грамм

K,

(7,42)

ω

Грамм

0k - ∂ η θ г

k = H η coth 2r

Грамм

k sin 2 θ

Грамм

K,

(7,43)

ω

Грамм

Bk

Знак равно

ω

Грамм

0k - ∂ η θ г

k

Coth 2r

Грамм

k

.

(7,44)

Общее решение классических уравнений можно записать с помощью

полного набора исходных данных b ±

0k

:

б ± к

(η) = ехр



± я

η

∫ η 0

d η ω

Грамм

Bk (η) 



б ±

0k

.

(7,45)

С другой стороны, величины b +

0k

(б -

0k

) можно рассматривать как создание

Операторы уничтожения (уничтожения), удовлетворяющие коммутационным соотношениям:

[б -

0k

, б

+

0k ′ ] = δ k, -k

′, [B -

0k

, б -

0k ′ ] = 0, [b

+

0k

, б

+

0k ′ ] = 0,

(7,46)

Если ввести вакуумное состояние как b -

0k | 0 〉 = 0. Действительно, соотношения

(7.46) являются результатом: i) классической скобки Пуассона {P ˜F, ˜F} = 1

Который превращается в

[грамм

− k

,грамм

+

− k

] = δ k, k

′;

(7,47)

ii) решение (7.45) для начальных данных; iii) преобразование Боголюбова-

Формулы (7,38), (7,39).

С помощью уравнений (7.38) - (7.40) и (7.45) - (7.47) мы можем

Вычислить вакуумное математическое ожидание полной энергии (7.33), (7.34)

〈 0 | H g

η (a) | 0 〉 = ∑ k

ω

Грамм

0k | β k | 2 = ∑ k

ω

Грамм

0k

cosh {2r

Грамм

k (a)} - 1

2

.

(7,48)

Численный анализ [ 6] уравнений. (7.42) - (7.43) для неизвестных переменных

(р

Грамм

k, θ

Грамм

k) с нулевыми граничными условиями при a = a I (в начале

Стр. Решебника 228

Квантование гравитонов по формам Картана 228

Создания)

р

Грамм

k (a I) = 0,

θ

Грамм

к (а I) = 0

(7,49)

Позволяет предложить приближенное аналитическое решение эволюции

Уравнения.

Наше приближение состоит в следующем. Возникает, если вместо

R k подставляется приблизительное значение r apr в окрестности мягкого

мода энергии Боголюбова (7.44) ω 0appr = ∂ η θ g

Ок,

r appr =

1

2

X = 2 θ г

ок (а)

∫

X I = 2 θ г

Appr (a I)

dX

XcoshX ≃ 2 〈 D 〉 I,

(7.50)

X (а) = 2 θ г

appr (а) = 2

η (а)

∫ η (а I)

d ηω 0k.

(7,51)

Этот мягкий режим обеспечивает переход [ 6] в точке a 2

расслабься ≃ 2а 2

Pl

из

От нестабильного состояния рождения частицы до стабильного состояния с почти

Постоянное число заполнения во время релаксации

η расслабиться ≃

2e − 2 〈 D 〉 I

H 0

≡

А 2

я

H 0

.

(7,52)

В точке релаксации определитель уравнения (7.37) изменения

его знак и становится положительным [ 13]. В итоге получаем

〈 0 | H

Грамм

k | 0 〉 ∣∣ (a> a релакс)

= ω

Грамм

0k

cosh [2r

Грамм

k ] - 1

2

≈

ω

Грамм

0k

А 4

я

.

(7,53)

Мы проверили, что отклонение результатов, полученных с помощью

Этой формулы из численных решений уравнений. (7.42) - (7.43) (см.

Ref. [6 ]) не превышает 7%.

Стр. Решебника 229

Вакуумное создание аффинных гравитонов

229

В силу этого результата получаем полную энергию

〈 0 | H g

η | 0 〉 ∣∣ (a> a релакс) ≈

1

А 4

Я ∑ к

ω

Грамм

0k

2 ≡

ЧАС

Грамм

η Cas

а)

А 4

я

,

(7,54)

Где H

Грамм

η Cas

(а) - энергия вакуума Казимира.

Таким образом, полная энергия созданных гравитонов равна

〈 0 | H g

η | 0 〉 ≃ ˜

γ H 0

А 2 а 4

я

.

(7,55)

Оказалось, что начальные данные дилатона a I = e - 〈 D 〉 I и H 0 определяют

Как полная энергия (7,54) созданных гравитонов, так и их заселенность

число N g в момент релаксации (7.52):

N g (расслабиться) ≃

〈 0 | H g

η | 0 〉

〈 Ω

Грамм

k 〉 ≃ ˜

γ (г)

А 6

я

≃ 10 87,

(7,56)

Где мы разделили полную энергию на среднюю одночастичную энергию

〈 Ω

Грамм

k 〉 ≈ 〈 ω (2) 〉 (a I)

определено в формуле. (6.28). Для численных оценок используем ˜ γ (g) ≈ 0,03. В

Число первичных гравитонов совместимо с числом

Фотоны реликтового излучения, как это было предсказано в [5]. [ 7].

Главный результат этого раздела состоит в оценке первоочередных задач.

Мордиальное гравитонное число (7,56). Мы предполагаем, что энергия Казимира

Определяется полной энергией основного состояния создаваемых возбуждений, см.

Уравнение (7.54).