Стороны алгебры Пуанкаре удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям

[ 7]:

[D, P µ ] = −ı P µ,

[D, M µ ν ] = 0,

[D, K µ ] = ı K µ,

[K µ, K ν ] = 0,

[K µ, P ν ] = − 2 ı (g µ ν D + M µ ν), [K ρ, M µ ν ] = ı (g ρ µ K ν - g ρν K µ).

Пусть a ϕ - скалярное поле конформной размерности d. потом

[P µ, ϕ (x)] = −ı∂ µ ϕ (x),

[M µ ν, ϕ (x)] = −ı (x µ ∂ ν - x ν ∂ µ) ϕ (x),

[D, ϕ (x)] = −ı (x µ ∂ µ + d) ϕ (x),

Стр.106

Принципы симметрии физических теорий 106

[K µ, ϕ (x)] = −ı (− x 2 ∂ µ + x µ (x ν ∂ ν + d)) ϕ (x).

Чтобы идентифицировать структуру алгебры, введем следующее

Обозначения для генераторов

J µ ν = M µ ν, J 65 = D, J 5µ =

1

2

(P µ - K µ),

J 6µ =

1

2

(P µ + K µ).

Тогда получаем коммутационные соотношения

[J KL, J MN ] = ı (g KN J LM + g LM J KN - g KM J LN - g LN J KM)

С диагональным 6-мерным метрическим тензором

g AA = (+ - −−, - +), A = 0,1,2,3,5,6.

Это показывает, что коммутационные соотношения определяют алгебру so (4,2)

Группа ортогональных вращений в псевдоевклидовом пространстве, которая

Изоморфна алгебре su (2,2) фундаментального представления

твисторного пространства C 4:

так что (4,2) ≈ su (2,2).

Генераторы шестимерного самопредставления даются в [ 8]

(J AB) CD = ı (g AC g BD - g AD g BC).

3.5 Конформно-инвариантные теории

Гравитации

Уравнения свободных безмассовых полей - Максвелла, Клейна - Гордона, Дирака,

Янг - Миллс конформно инвариантны. Рассмотрим некоторые попытки

Обобщения общей теории относительности.

Стр.107

3.5. Конформно-инвариантные теории гравитации

107

В геометрии Вейля нет абсолютного способа сравнения элементов

Длина в точках, разнесенных друг от друга, но при этом сохраняются углы между

Векторы во время конформного отображения. Сравнение можно провести

для бесконечно близких точек [ 9]. Рассмотрим вектор длины s в

точка с координатами x µ. Переносим его параллельно себе в точку с

координаты x µ + δ x µ. Изменение его длины пропорционально s и

δ x µ:

δ s = s κ µ δ x µ,

(3,15)

где κ µ - некоторый вектор. Предположим, что стандарт длины изменен

так что длина умножается на λ (x) в зависимости от координат. потом

s становится равным s ′ = λ (x) s, а s + δ s изменяется как

s ′ + δ s ′ = (s + δ s) λ (x + δ x) = (s + δ s) λ (x) + s

∂λ

∂ x µ

δ x µ,

Где мы пренебрегаем значениями второго порядка. Получается

δ s ′ = λδ s + s

∂λ

∂ x µ

δ x µ = λ s (κ µ +

∂φ

∂ x µ) δ x µ,

Где

φ ≡ ln λ.

(3,16)

Таким образом, получаем

δ s ′ = s ′ κ µ ′ δ x

µ

,

Где

κ µ ′ = κ µ +

∂φ

∂ x µ

.

(3,17)

Если вектор переносится параллельно по замкнутому контуру, изменение

его длина будет выражена следующей формулой:

δ s = sF µ ν δ S

µ ν

,

Стр.108

Принципы симметрии физических теорий 108

Где

F µ ν ≡

∂κ µ

∂ x ν -

∂κ ν

∂ x µ

,

(3,18)

а δ S µ ν - элемент площади, заключенной в петлю. Антисимметричный

тензор (3.18) инвариантен относительно калибровочных преобразований вида (3.17).

Вектор, проведенный по контуру, изменяет свою длину, поэтому геометрия

Лежащая в основе теории, является неримановой.

С точки зрения аналитического описания геометрии,

Квадратичные и линейные дифференциальные формы

ds 2 = g µ ν dx µ dx ν,

ω 1 = κ µ dx µ

Эквивалентные соответствующим формам

Хд μν дх

µ

dx

ν

,

κ µ dx

µ

+ dln λ.

В теории Вейля в (3.15) фигурируют полевые величины κ µ, взятые в качестве

электромагнитные потенциалы. Они подвержены калибровочным преобразованиям.

(3.17), связанный не с изменением геометрии, а только с изменением

стандарты длины. Эти величины (3.18) имеют геометрический смысл:

не зависят от стандартов длины и соответствуют требованиям электромагнитных

Тензор поля. Таким образом, геометрия Вейля, по мнению автора, описывает

Электромагнитное поле геометрическим языком.

Динамические уравнения строятся по вариационному принципу.

Плеер минимального действия. Плотность лагранжиана гравитационного поля

должна быть величиной с конформным весом − 2. Вейл выбрал его как

Квадратная риманова кривизна, подобная электромагнитному полю

L = R

µ

ναβ

р

ναβ

µ

.

Стр.109

3.5. Конформно-инвариантные теории гравитации

109

Эйнштейн раскритиковал теорию Вейля. Несмотря на замечательную опору,

теории [10 ], она не была принята физиками, поскольку

Противоречит квантовой теории - квантовые явления дают нам абсолютную

лютневый эталон длины. Однако терминология уловлена ​​ физикой:

калибровка, калибровочные преобразования, калибровочные инварианты.

Александр А. Фридман (16 июня 1888 г.

- 16 сентября 1925 г.), выдающийся

Русский физик-теоретик. В 1923 г.

Его книга «Мир как пространство и время»

[на русском языке] было выпущено; он проинформировал

Публика о новой физике. Жареный

Манн предсказал расширение

Вселенная. Первые нестационарные так-