Дается антисимметричным произведением. Новое представление (1,0) есть

Стр.97

Неприводимые представления группы Пуанкаре

97

Описывается антисимметричным самодуальным тензором второго ранга. Представители

тензора (0,1) соответствует антисамодуальный тензор;

6. (0,1) ⊕ (1,0): тензор Максвелла электромагнитного поля.

Неприводимые представления

Группа Пуанкаре

Дополнительное требование инвариантности изолированной физической системы

Относительно единообразных переводов в пространстве и времени приводит к генерации

преобразование шестипараметрической группы Лоренца (3.1) к десятипараметрической

Группа Пуанкаре [ 1]

Икс

′

µ = Λ µ ν x ν + a µ,

(3,6)

где Λ µ ν ∈ SO (3,1), a µ ∈ R.

Эрмитовы генераторы сдвигов P µ = −ı∂ µ коммутируют с каждым

Другие:

[P µ, P ν ] = 0,

(3,7)

но не коммутируют с генераторами группы Лоренца:

[M µ ν, P ρ ] = −ı g µ ρ P ν + ı g νρ P µ.

(3.8)

Алгебра Пуанкаре - это полупрямая сумма идеала 1 (3.7) и

Алгебра Лоренца so (3,1). Как упоминалось выше, все неприводимые представления

Ции характеризуются собственными значениями операторов Казимира, которые

Коммутируют со всеми образующими алгебры группы.

В теории алгебр Ли идеалом является максимальная коммутативная подалгебра.

Стр.98

Принципы симметрии физических теорий 98

Юджин Вигнер (17 ноября 1902 г., Бу-

Dapest 1 января 1995 года, Принстон,

США) был венгерским американским тео-

Физик-физик и математик. Он

Получил долю Нобелевской премии в

Физика в 1963 г. «за его вклад.

К теории атомного ядра

И элементарные частицы, в частности

В основном благодаря открытиям и применению

Катион фундаментального принципа симметрии

Плес»; другая половина награды была

Совместно с Марией Гепперт-Майер

И Дж. Ханс Д. Йенсен. Вигнер не-

Важно для того, чтобы заложить фундамент

Для теории симметрий в квантовой

Tum Mechanics, а также за его исследования

В структуру атомного ядра.

Вигнер разработал теорию не-

Дуплексные представления Пуанкаре

Группа как теория классификации

Элементарных частиц.

Оператор Казимира представляет собой квадрат оператора четырех импульсов

P µ P µ в силу его инвариантности относительно преобразования Лоренца.

Ции. Второй оператор Казимира строится из вектора Паули

- Любанский W µ:

W

µ ≡

1

2

ε

µ νρσ

P ν M ρσ,

(3.9)

где ε µ νρσ - антисимметричный тензор Леви – Чивиты. Учитывая (3.7)

и (3.8) получаем коммутационные соотношения для вектора:

[W µ, P ν ] = 0,

[M µ ν, W ρ ] = −ı g µ ρ W ν + ı g νρ W µ.

(3.10)

Стр. 99

Неприводимые представления группы Пуанкаре

99

Отсюда мы видим, что квадрат длины вектора W µ W µ есть

Оператор Казимира. Представления Вигнера бесконечномерны, что

Соответствует неограниченным импульсам. С физической точки зрения

Особый интерес представляют следующие представления группы.

1. Собственное значение оператора P µ P µ ≡ m 2 является вещественным положительным числом.

бер. Собственное значение оператора W µ W µ равно − m 2 s (s + 1), где s -

спин со значениями s = 0, 1/2, 1,.... Состояния внутри представления

отличаются третьей компонентой спина s 3 = − s, − s + 1,..., s - 1, s

И непрерывные собственные значения p i. Состояние соответствует частице с

Масса m, спин s, трехмерный импульс p i и проекция

спина s 3. Массивные частицы со спином s обладают 2s + 1 степенью

Свободы.

2. Собственное значение оператора P µ P µ равно нулю, что соответствует

К частице с нулевой массой покоя. Собственное значение оператора

W µ W µ равно нулю. Скалярное произведение операторов P µ и W µ равно

равен нулю: P µ W µ = 0. Коэффициент пропорциональности называется

спиральность и равна ± s, где s = 0, 1/2, 1,... - спин представ-

Тация. Примеры частиц: фотон со спином 1 и два состояния со спином

спиральность ± 1, нейтрино со спиральностью ± 1/2 и метрический гравитон с

два состояния спиральности ± 2.

3. Собственное значение оператора P µ P µ ≡ m 2 является вещественным отрицательным числом.

бер. Гипотетические частицы с мнимой массой называются тахионами [ 3].

Они широко встречаются в физическом мире, выглядя как квазичастицы.

В сложных системах, потеряв устойчивость при фазовых переходах. в

Теория элементарных частиц тахионов делает вакуумное состояние

Система нестабильна, что приводит к ее перестройке, обеспечивая появление