Передача тепла через плоскую стенку

а) Граничные условия 1 рода

Простейшей задачей теплообмена является определение плотности теплового потока, передаваемого через плоскую стенку толщиной δ, при задании граничных условий I рода. Температура изменяется только по толщине пластины, т.е. задача является одномерной.

Учитывая, что для одномерного случая

 

(1.8)

 

и используя условия установившегося режима, получим, что тепловой поток через 1 м² стенки можно определить следующим образом:

 

(1.9)

 

Отношение λ /δ, [Вт/(м²× К)] называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ / λ, [(м²× К)/Вт] — тепловым или термическим сопротивлением стенки.

     На рисунке 1. 3. представлена однородная плоская пластина при задании граничных условий 1 рода. Пусть коэффициент теплопроводности не зависит от температуры.  Считаем, что изменение температуры происходит только по оси x.

 Текущее значение температуры в этом случае будет равно

 

(1.10)

 

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры

 

(1.11)

 

где

λ0, λ t — коэффициенты теплопроводности соответственно при температуре 0 oС и t oС;

b — коэффициент, определяемый экспериментально.

C учетом вышеизложенного выражения (1.9) и (1.10) приобретают следующий вид:

 

(1.12)

 

(1.13)

 

где

λ ср — среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:

 

(1.14)

 

Из выражения (1.13) следует, что если величина b положительна, то выпуклость температурной кривой направлена вверх, если b отрицательна, то выпуклость направлена вниз.

Для сложной стенки, состоящей из n слоев, тепловое сопротивление будет равно сумме сопротивлений отдельных слоев.

 

(1.15)

 

и плотность теплового потока может быть определена

 

(1.16)

 

Распределение температуры изображается ломаной прямой линией (см. рис. 1.4).

Температуры на границе раздела слоев многослойной стенки определяются из выражений:

 

(1.17)

 

(1.18)

 

(1.19)

б) Граничные условия III рода

При задании граничных условий III рода передача тепла осуществляется между двумя теплоносителями через разделяющую стенку (см. рис. 1.5).

 

Заданы коэффициент теплопроводности λ, толщина стенки δ, коэффициенты теплоотдачи теплоносителей α₁, α₂ и их температуры tж1, tж2. Плотность теплового потока определяется по следующему выражению:

 

(1.20)

 

где k — коэффициент теплопередачи, Вт/(м² × К).

 

(1.21)

 

Температуры на левой и правой поверхностях равны:

 

(1.22)

 

(1.23)

 

Для многослойной плоской стенки плотность теплового потока (см. рис. 1-4)

 

(1.24)

 

где

kм — коэффициент теплопередачи многослойной плоской стенки, Вт/(м² × К).

 

(1.25)

 

Температуры поверхностей определяются из следующих выражений:

 

(1.26)

 

(1.27)

 

(1.28)

в) Смешанные граничные условия

Рассмотрим случай, когда для плоской однородной стенки заданы смешанные граничные условия (второго и третьего рода).

Пусть на одну из поверхностей стенки поступает постоянный тепловой поток q = const (при x=0), а на другой поверхности заданы коэффициент теплоотдачи α₂ и температура жидкости  . Внутренние источники в теле отсутствуют (см. рис. 1.6.).

 

 

Температура на поверхностях стенки и на границе слоев может быть определена по следующим уравнениям:

 

(1.29)

 

(1.30)

 

на поверхности между слоями m-1 и m

 

(1.31)

 

Распределение температуры внутри любого слоя находится по уравнению:

 

(1.32)

 

если коэффициент теплопроводности является функцией температуры . В противном случае, расчетная формула будет следующей: