Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через точку и два неколлинеарных вектора. Теорема
Уравнение плоскости в пространстве – это линейное уравнение первой степени относительно неизвестных . Теорема. В прямоугольно-декартовой системе координат уравнение плоскости, проходящий через точку и два неколлинеарных вектора ; и ; задаётся: Доказательство: · Пусть ; и ; лежат в одной плоскости. · Возьмём на плоскости произвольным образом точки и составим . · , , – компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0: ч.т.д. Верно и обратное утверждение. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости. Общее уравнение плоскости · Разложим по первой строке доказанную в прошлой теме теорему: · Введём обозначения: · Обозначим через · Имеем общее уравнение плоскости: Здесь , так как векторы ; и ; не коллинеарны, а значит определители в разложении одновременно не равны нулю для . Верно и обратное утверждение. Всякое решение (2) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости. Замечание: вектор , где – плоскость, заданная (2). Доказательство: · Возьмём две лежащие на плоскости точки: и . · Координаты этих точек должны удовлетворять (2): (3) (4) · Вычтем из (4) (3): · Это равенство, по сути, представляет собой скалярное произведение, равное нулю: · · Так как , то 38. Критерий компланарности вектора и плоскости. Теорема Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы вектор и плоскость, заданная (2). Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и данной плоскости имеет вид: Доказательство: · Отложим вектор от произвольной точки заданной плоскости. · Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты . · Вектор коллинеарен заданной плоскости тогда и только тогда, когда точка Р лежит в данной плоскости, т.е. выполняется уравнение (2): . · лежит в плоскости, следовательно, . · После раскрытия скобок с учётом уравнения выше остаётся условие: . Из этой теоремы следует, что главный вектор плоскости , заданной общим уравнением плоскости относительно общей декартовой системы координат, не компланарен этой плоскости: . 39. Уравнение плоскости, проходящей через 2 заданные точки и компланарной ненулевому вектору. Теоремы 1-3
Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две точки и и ненулевой вектор , компланарный плоскости . Тогда уравнение плоскости имеет вид: Доказательство: · Пусть три точки , точка с координатами , а также лежат на . · Векторы с координатами , и вектор компланарны. · Следовательно, матрица из их координат равняется 0. Обратная теорема. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости. Теорема: Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы , , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой: Доказательство: · Пусть , , лежат на одной плоскости. · Возьмём произвольным образом точку , лежащую на плоскости, тогда векторы , , коллинеарны, так как лежат в одной плоскости. · Следовательно, определитель, составленный из их координат, равен 0 ч.т.д. Обратная теорема. Всякое решение уравнения (2) определяет точку, лежащую на плоскости.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 78; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.204.208 (0.011 с.) |