Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой

Всякая линия задаётся , которая удовлетворяет любой точке , лежащей на этой линии.

Уравнение прямой:

· Пусть прямая проходит через точки  и .

· Тогда  , .

· Пусть  – угол между прямой  и осью .

·

· Пусть

·

· . Любая точка с координатами , лежащая на прямой  удовлетворяет этому уравнению.

o Если k > 0, то прямая возрастает, в противном случае убывает

Общее уравнение прямой. Теорема

Общее уравнение прямой на плоскости задаётся линейным уравнением первой степени.

Теорема. Если дана прямая на плоскости, то её координаты удовлетворяют общему уравнению прямой на плоскости:

 (1).

Предположим, что , тогда уравнение теоремы можно привести к виду . Это уравнение называется уравнением прямой на плоскости с угловых коэф. .

Справедливо и обратное утверждение. Всякое решение уравнения (1) определяет точку, лежащую на этой прямой.

Уравнение прямой в отрезках

Если , то уравнение (1) можно записать в виде уравнения прямой в отрезках на плоскости:

Другими словами, прямая отсекает от  отрезок , а на  отрезок  и проходит через точки , .

Угол между двумя прямыми на плоскости

Угол между двумя прямыми – это то, насколько нужно повернуть одну прямую против часовой стрелки до её полного совмещения со второй.

Пусть  коллинеарен прямой  и  коллинеарен прямой . Тогда , а как мы знаем:

Тогда найти угол между двумя прямыми l₁ и l₂ можно найти по формуле:

 коллинеарен прямой  коллинеарен прямой .

Каноническое уравнение прямой

Даны: прямая , коллинеарный ей вектор   и лежащая на ней точка . Тогда для прямой  можно записать каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Даны: прямая   и две лежащие на ней точки   и . Тогда для прямой  можно записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Вектор   коллинеарен прямой . (Для лучшего запоминания можно и стоит уловить связь с каноническим уравнением прямой)

Нормальное уравнение прямой на плоскости

Вектор 𝝁𝑨 𝝁𝑩   коллинеарен прямой   и его длина равна 1.

Выражение угла между прямыми через угловые коэффициенты самих прямых

· Даны: прямая , заданная уравнением 𝒚 =, 𝒌-𝟏.𝒙+𝒃, и прямая , заданная уравнением 𝒚=,𝒌-𝟐.𝒙+𝒃.

· Обозначим угол между прямыми за , угол между прямой   и  за , а угол между  и   за   (где ).

·

·

· 𝒕𝒈 𝒕𝒈 𝒕𝒈

· k ₁   (так как = 𝑡𝑔 , а = 𝑡𝑔 )

Замечание: если в качестве угла возьмём смежный угол, то получится результат с минусом.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Теоремы 1-3

Пусть даны две прямые  и

Теорема 1. Прямые  пересекаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда .

Теорема 2. Прямые  параллельны тогда и только тогда, когда .

Теорема 3. Прямые  совпадают, когда .