Понятие вектора и линейных операций над векторами

Вектор – направленный отрезок, заданной длины.

Модуль вектора – длина вектора.

, где  – координаты вектора

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с его концом.

· Вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. Вектора также равны, если их координаты равны.

· Два вектора ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

· Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами.

Условия коллинеарности векторов:

1. Два вектора  и  коллинеарны, если существует число n такое, что .

2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны (не применимо если одна из координат равна 0).

3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

· Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов:

1. Два отдельно взятых вектора всегда компланарны

2. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

3. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

4. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

·

·

Свойства вектора, умноженного на число. Если , то:

1.

2. , при , и , при

3.

 

Нелинейная операция скалярного произведения двух векторов

 = | | · |  | · cos α

Проекция вектора на ось. Свойства проекции вектора на ось

Проекция вектора   на ось  – это длина отрезка  этой оси , который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора на ось .

Она берется со знаком плюс, если направление отрезка   совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Угол между вектором и осью – это угол, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора.

Свойства проекций:

· равные векторы имеют равные проекции;

· при умножении вектора   на число m его проекция на ось также умножается на то же число;

· проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов;

Направляющие косинусы вектора. Свойства направляющих косинусов

Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.

  (для плоскости: )