Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицами

Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицами

Поле – некоторое множество с введёнными над этим множеством операциями сложения, вычитания, умножения, деления и выделенным нейтральным элементом, относительно операции умножения.

 – матрица или матрица над полем L  – это таблица вида , при чём , а , где F – множество скаляров, по которым введены основные арифметические операции в поле  с нейтральным элементом 1.

Для её обозначения используют символ: , где , , где i – номер строки, а j – номер столбца, а множество всех  - матриц обозначают через

· Если , то матрица – прямоугольная.

· Если , то матрица – квадратная.

Все элементы  матрицы  при i = j называются элементами главной диагонали

· Матрица называется нулевой, если все её элементы равны 0 (обозначается через латинскую букву ).

· Матрица называется единичной, если элементы её главной диагонали равны 1, а вне этой диагонали равны 0 (обозначается через латинскую букву ).

 

Матрицы равны, если совпадают их размерности и соответствующие элементы.

Чтобы сложить матрицы одинаковых размерностей следует сложить их соответствующие элементы, аналогично с вычитанием.

Умножение на скаляр: , тогда , где ,

Матрица   противоположна матрице . При этом выполняется условие .

Умножение матриц: при умножении матриц  важно учитывать, что количество столбцов в A должно совпадать c количеством строк в B. Если , то результатом будем матрица размерностью .  Для большего понимания можно элементы из этого изображения, где элемент первой строки второго столбца, например, считается как :

Свойства операций над матрицами.

Для любых двух матриц  справедливо:

1.

2.

3. , где  – скаляр

4. , где  – скаляры

5. , где  – скаляры

6. , где C – матрица и ,

7. , если ,  и

8.

Транспонированные матрицы. Теорема о транспонировании произведения квадратных матриц

Транспонированная матрица получается заменой в матрице строк соответствующими столбцами (обозначается через ).

Теорема. Если  и , то

Миноры и алгебр. дополнения

Подматрица матрицы A – матрица, полученная из матрицы A, путём удаления из неё строки i и столбца j.

Подматрица k-ого порядка – подматрица размерности .

Минор k-ого порядка – определитель подматрицы k-ого порядка.

Алгебраическое дополнение  – соответствующий минор, взятый со знаком, определяемым по формуле (-1)^i+j.

Теорема 1. Если в квадратной матрице A элементы в последней строке быть может за исключением элементы  равны нулю, то определитель высчитывается по формуле: .

Теорема 2. Если в квадратной матрице A элементы в какой-либо строке за исключением одного элементы равны нулю, то определитель высчитывается по формуле: .

При разложении определителя квадратной матрицы по элементам выбранной строки(столбца) следует учитывать эти две теоремы:

Теорема 1. Пусть дана , тогда .

Замечание. Теорема остаётся верной и при разложении по j (т.е. по строкам).

Теорема 2. Сумма произведений элементов одной из строк на алгебраические дополнения другой строки равна 0.

Полярная система координат

· Рассмотрим , заданную в прямоугольно-декартовой системе координат на плоскости.

· Соединим  c началом координат () и рассмотрим .

· Пусть .

· Пусть угол между  и осью  равен .

·    

·  

·

·

Уравнение прямой в отрезках

Если , то уравнение (1) можно записать в виде уравнения прямой в отрезках на плоскости:

Другими словами, прямая отсекает от  отрезок , а на  отрезок  и проходит через точки , .

Общее уравнение плоскости

· Разложим по первой строке доказанную в прошлой теме теорему:

· Введём обозначения:

· Обозначим через

· Имеем общее уравнение плоскости:

Здесь , так как векторы ;  и ;  не коллинеарны, а значит определители в разложении одновременно не равны нулю для .

Верно и обратное утверждение. Всякое решение (2) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости.

Замечание: вектор , где  – плоскость, заданная (2). Доказательство:

· Возьмём две лежащие на плоскости точки:  и .

· Координаты этих точек должны удовлетворять (2):

 (3)

 (4)

· Вычтем из (4) (3):

· Это равенство, по сути, представляет собой скалярное произведение, равное нулю:

·

· Так как , то

38. Критерий компланарности вектора и плоскости. Теорема

Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы вектор  и плоскость, заданная (2). Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора  и данной плоскости имеет вид:

Доказательство:

· Отложим вектор  от произвольной точки  заданной плоскости.

· Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты .

· Вектор коллинеарен заданной плоскости тогда и только тогда, когда точка Р лежит в данной плоскости, т.е. выполняется уравнение (2):

.

·  лежит в плоскости, следовательно, .

· После раскрытия скобок с учётом уравнения выше остаётся условие:

.

Из этой теоремы следует, что главный вектор плоскости , заданной общим уравнением плоскости относительно общей декартовой системы координат, не компланарен этой плоскости: .

39. Уравнение плоскости, проходящей через 2 заданные точки и компланарной ненулевому вектору. Теоремы 1-3

Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две точки  и  и ненулевой вектор , компланарный плоскости . Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Доказательство:

· Пусть три точки ,  точка с координатами , а также  лежат на .

· Векторы с координатами ,   и вектор  компланарны.

· Следовательно, матрица из их координат равняется 0.

Обратная теорема. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости.

Теорема: Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы , , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой:

Доказательство:

· Пусть , ,  лежат на одной плоскости.

· Возьмём произвольным образом точку , лежащую на плоскости, тогда векторы , , коллинеарны, так как лежат в одной плоскости.

· Следовательно, определитель, составленный из их координат, равен 0 ч.т.д.

Обратная теорема. Всякое решение уравнения (2) определяет точку, лежащую на плоскости.

 

Цилиндры второго порядка

Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицами

Поле – некоторое множество с введёнными над этим множеством операциями сложения, вычитания, умножения, деления и выделенным нейтральным элементом, относительно операции умножения.

 – матрица или матрица над полем L  – это таблица вида , при чём , а , где F – множество скаляров, по которым введены основные арифметические операции в поле  с нейтральным элементом 1.

Для её обозначения используют символ: , где , , где i – номер строки, а j – номер столбца, а множество всех  - матриц обозначают через

· Если , то матрица – прямоугольная.

· Если , то матрица – квадратная.

Все элементы  матрицы  при i = j называются элементами главной диагонали

· Матрица называется нулевой, если все её элементы равны 0 (обозначается через латинскую букву ).

· Матрица называется единичной, если элементы её главной диагонали равны 1, а вне этой диагонали равны 0 (обозначается через латинскую букву ).

 

Матрицы равны, если совпадают их размерности и соответствующие элементы.

Чтобы сложить матрицы одинаковых размерностей следует сложить их соответствующие элементы, аналогично с вычитанием.

Умножение на скаляр: , тогда , где ,

Матрица   противоположна матрице . При этом выполняется условие .

Умножение матриц: при умножении матриц  важно учитывать, что количество столбцов в A должно совпадать c количеством строк в B. Если , то результатом будем матрица размерностью .  Для большего понимания можно элементы из этого изображения, где элемент первой строки второго столбца, например, считается как :