Метод оценки левой и правой частей уравнения

Пример 169. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Левая часть уравнения: . Правая часть .

Равенство возможно только в одном случае, когда и левая и правая части уравнения, при одних и тех же значениях x равны нулю. Получим систему уравнений:

Последняя группа корней  не входят в область допустимых значений.

Ответ: .

 

Пример 170. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: . Левая часть уравнения может быть равна единицы только в следующих случаях:

(1)    (2)   (3)  

(4)   (5)

(1)  - входят в ОДЗ.

(2)  

(3)  

Должно выполняться равенство при целых значениях k и n:

.

Получим:

 

(4)  - решений нет.

Результаты решений систем (2) и (3)  и  объединяются общими решениями: .

 

Ответ: .

 

Пример 171. .

 

Решение

 

Областью допустимых значений переменных x и y является множество всех действительных чисел, т. е. .

Областью значений функций  и  является множество действительных чисел из промежутка  или  и .

Сумма этих функций будет равна 2 тогда и только тогда, когда, при одних и тех же значениях x и y каждая из функций равна 1, т. е. выполняется система уравнений:

 

Ответ: .

 

Пример 172. .

 

Решение

Область значений функций: , .

Сумма этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система равенств:

.

 

Ответ: .

 

Пример 173. .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение .

Область значений функций: ; .

Разность этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

При этих значениях x равенство sin6x = 1 выполняется. В самом деле:

.

 

Ответ: .

 

Пример 174. .

 

Решение

 

Область значений функций: ; .

Сумма этих функций равна 2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

Общие решения системы следующие:  

Ответ: .

Пример 175. .

 

Решение

 

Область значений функций: ; ,

.

Сумма этих функций равна 0 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

Общие решения системы следующие:  

Ответ: .

 

Пример 176. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область значений функций: , поэтому, произведение этих функций равно (-1) только в двух случаях, откуда получим совокупность двух систем уравнений

(1)  и (2)

Решим систему (1):

(1) .

.

Это неопределенное уравнение относительно k и n. НОД(3, 10) = 1, значит, по теореме это уравнение имеет, по крайней мере, одно решение. Это решение найдем линейным разложением 1 на 3 и -10. Для этого разделим с остатком 10 на 3. Получим 3 в частном и 1 в остатке, значит , откуда k = -3, n = -1.

Общие решения будут .

Для нахождения значений x достаточно взять одно из значений k или n.

При  получим .

Решим вторую систему уравнений:

.

НОД(6, 2) = 2, 5 не делится на 2, значит уравнение не имеет целых решений.

Проверим значения .

Замечание. Поскольку t принимает целые значения, то знак "-" или "+" перед  значения, в данном случае, не имеет.

 

Проверка

 

,

, значит

 являются решениями уравнения.

 

Ответ: .

 

Задание 8

 

Решите уравнения:

177. .     178. .

179. . 180. .

181. . 182. .