Метод разложения на множители

Уравнений

 

 

Содержание

 

Тригонометрические уравнения. 4

1. Метод разложения на множители. 4

Задание 1. 18

2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям 18

2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента. 21

2.2. Применение формул приведения. 26

Задание 2. 30

3. Уравнения, однородные относительно  и ....... 31

3.1. Применение формул приведения. 34

Задание 3. 37

Задание 4. 40

4. Метод замены переменных. 41

4.1. Замена . 41

Задание 5. 45

4.2. Замена ............ 45

4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится ........ 47

4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и x. 49

Задание 6. 51

4.5. Замена . Универсальная тригонометрическая подстановка 51

Задание 7. 58

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения. 59

Задание 8. 63

6. Введение вспомогательного аргумента. 64

Задание 9. 67

7. Системы тригонометрических уравнений. 68

Задание 10. 70

Задание 11. 72

Ответы.. 73

К заданию 1. 73

К заданию 2. 73

К заданию 3. 73

К заданию 5. 73

К заданию 6. 74

К заданию 7. 74

К заданию 9. 74

 

Тригонометрические уравнения

 

Метод разложения на множители

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулу:

.

Получим уравнение: .

Это уравнение решим разложением на множители: .

Получим совокупность уравнений:

.

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение

 

Решение

Преобразуем уравнение:

 - решений не имеет.

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулы:

 и .

Получим уравнение:

.

Получим совокупность двух уравнений:

(1)   и (2) .

Уравнение (1)  является однородным. В нем . В самом деле, если допустить противное, т. е., что , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). Итак, .

Разделим обе части уравнения (1) на , получим .

Решим второе уравнение:

.

 

Ответ: , .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулы:  и . Уравнение примет вид:

, ,

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно:  - это значит, что при четных значениях k из множества корней  получаются корни , значит,  являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения .

, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней  получаются корни , следовательно,  - являются общими решениями трех полученных результатов.

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение

 

 

Ответ:

 

Пример 6. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение  тогда уравнение примет вид

 - это уравнение не имеет решений, так как

 

Ответ:

 

Пример 7. Решите уравнение .

 

Решение

 

Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно  и . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.

Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: .

, а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решая первое уравнение, находим: .

Второе уравнение является однородным первой степени,  

Если допустить, что  тогда подставив это значение в уравнение, получаем: . Но одновременно  и  не могут равняться нулю. Итак,  Разделим на него обе части уравнения, получим:

 

Ответ: ,

 

 

Пример 8. Решите уравнение

 

Решение

Область допустимых значений переменной: .

Преобразуем уравнение:

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

 

Решение

Преобразуем разность синусов  в произведение, получим

С учетом этого преобразования, уравнение примет вид

Ответ:

Пример 10. Решить уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

Получим совокупность уравнений:

 

 

Ответ:

 

Пример 11. Решить уравнение .

 

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу , получим:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Ответ:

 

Пример 12. Решить уравнение

 

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе уравнение совокупности  решений не имеет, поскольку

Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на  в противном случае, из уравнения, получим, что и  что невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:

Ответ:

 

Пример 13. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Ответ:

 

Пример 13. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение: .

Учитывая, что cosx функция четная, получим: .

Уравнение примет вид: .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

.

 

Ответ: .

 

Пример 15. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка

, получим:

 

 

Ответ:

 

 

Пример 16. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем произведение функций в сумму, получим

 

Ответ:

Пример 17. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:

.

 

Ответ: .

 

Пример 18. Решите уравнение

 

Решение

 

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение, заменив 1 на  и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.

 

 

Отсюда находим

 

Задание 1

Решите уравнения     

27. .     28. .

29. .

30.    31. .

32. 33. .

34. .            35. .

36. .            37. .

 

Задание 2

 

Решите уравнения.

58. .       59. .

60. .      61. .

62. .      63. .

64. .      65. .

66. .            67. .

68. .      69. .

70. .

71. .            72. .

73. .   74. .

75.

 

3. Уравнения, однородные относительно  и

 

Определение. Рассмотрим уравнение вида

 

где  - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (1) степени одночленов равны n, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n. Такое уравнение называется однородным относительно  и , а число n называется показателем однородности.

 

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

 решениями которого являются значения x, при которых , т. е. числа . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения (1).

При  получим: ,  и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при ,  и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

.

 

1. Однородные уравнения с показателем однородности 1. При  имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , ,

откуда .

 

Пример 7 6. Решите уравнение .

 

Решение

Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на  получим: .

Ответ: .

 

Пример 7 7. При  получим однородное уравнение вида

.

 

Решение

 

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой  легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: .

Если , то уравнение не имеет решений.

 

Пример 7 8. Решите уравнение .

 

Решение

 

Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . .

 

Ответ: .

 

3. К уравнению вида (1) сводится уравнение

 

 

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

 

В частности, уравнение  сводится к однородному, если заменить d на , тогда получим равносильное уравнение:

.

 

Пример 7 9. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение к однородному:

.

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

. Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: .

.

 

Ответ: .

 

Пример 8 0. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Пусть , тогда получим .

.

Ответ: .

 

Пример 81. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Получили однородное уравнение: .

Пусть ,

,

.

 

Ответ: , .

Решение

 

Преобразуем уравнение: . Умножим левую часть уравнения на , получим: .

После приведения подобных слагаемых получим однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx: , .

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Пусть tgx = y, тогда  - не имеет корней.

.

 

Ответ: .

 

Пример 8 7. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: ,

,

Умножим левую часть уравнения на , получим:

,

,

 

Последнее уравнение - однородное четвертой степени относительно sinx и cosx.

. Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует sinx = 0, что невозможно. Разделим обе части уравнения на , .

Пусть , получим квадратное уравнение: ,

.  - не удовлетворяет условию  и является посторонним корнем.

 

Задание 3

 

8 8. .                  8 9. .

90. .                       9 1. . 

9 2. . 9 3. .

9 4. .                    9 5. .

9 6. .

9 7. .       9 8. .

9 9. .                        100. .

101. .

10 2. .

10 3. . 10 4. .

4. Для преобразования уравнений было использовано основное тригонометрическое тождество . Это тождество не только позволяет сводить некоторые уравнения к однородным, но и в некоторых случаях дает возможность найти более простые решения таких уравнений. Для этой цели используются тождества, получаемые с помощью основного тригонометрического тождества.

,

отсюда находим .

Далее,

.

Преобразуем сумму , используя формулу (4).

.

Выше приведенные формулы очень часто используются при решении тригонометрических уравнений, и не только однородных.

 

Пример 10 5. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: .

Пусть  приходим к квадратному уравнению:

,

 

Ответ: .

Пример 106. Решите уравнение

.

 

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: ,

,

.

Уравнение 2 - sin2x = 0, sin2x = 2 не имеет решений.

 

Ответ: .

Пример 107. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

 

Ответ: .

 

Пример 108. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

.

 

Ответ: .

 

Пример 10 9. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулы:

 и ,

получим:

 

,

.

 

Ответ: .

 

Пример 1 10. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу (6)

, получим уравнение:

. Пусть , получим:

.

 

Ответ: .

 

Задание 4

111. . 112. .

113. .

Метод замены переменных

4.1. Замена .

 

Пусть дано некоторое тригонометрическое уравнение F(x) = 0. Обозначим через g(x) функцию  и введем новое неизвестное . Если удастся выразить функцию F(x) через t, т. е. представить ее в виде , то решение уравнения F(x) = 0 будет сведено к решению уравнения f(t) = 0. Разумеется, не всегда левую часть F(x) удается достаточно просто выразить через .

Мы рассмотрим несколько случаев, когда это удается сделать.

Введем (в некотором тригонометрическом уравнении) новое неизвестное , тогда, применяя тождество

, находим

.

Ясно, что если уравнение содержит сумму функций  и синус двойного угла , тогда его можно выразить через t.

 

Если левая часть тригонометрического уравнения F(x) = 0 может быть выражена через  и , то целесообразно применить замену неизвестного по формулам , .

 

Пример 114. Решите уравнение .

 

Решение

 

Пусть , тогда , получим квадратное уравнение:

.

Получим совокупность уравнений:

.

Ответ: .

 

Замечание. Уравнение  имеет решения в том и только в том случае, когда дискриминант уравнения  неотрицателен и по крайней мере один из корней этого уравнения удовлетворяет условию , так как .

Аналогично решаются уравнения вида .

Здесь удобно положить  и тогда .

Пример 115. Решите уравнение .

 

Решение

Й способ

Положим , тогда , , получим уравнение:

 

 

Ответ:

 

Й способ

. Преобразуем уравнение, зная, что :