Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, m, при которых: . Таких целых значений n и m нет, т. е. значения  входят в область допустимых значений.

 

Ответ: .

 

Пример 54. Решите уравнение .

Решение

 

Преобразуем уравнение: ,

,

. Пусть ,

получим:

.

.

Ответ: .

 

Пример 55. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

,

,

,

.

Преобразуем уравнение, применяя тождество:

, а также тождество

, получим уравнение:

,

,

. Пусть , получим:

.

.

 

Ответ: .

 

Пример 56. Решите уравнение .

 

Решение

Область определения: .

Преобразуем уравнение:

.

Преобразуем уравнение, применяя тождество , получим уравнение:

 или

.

Пусть , тогда получим уравнение: . Нетрудно заметить, что y = 1 является корнем уравнения: при y = 1 получим: , значит, его левая часть можно разложить на множители, одним из которых является y - 1.

Преобразуем уравнение:

,

.

Определим, какие из значений полученных переменных входят в область допустимых значений.

 входит в о. д. з.

 - это значит, что

 или  не входит в область допустимых значений.

Ответ: .

 

Пример 57. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, применяя тождество , в котором положим , тогда , получим уравнение:

.

Пусть , получим

.

.

 

Ответ:

 

Задание 2

 

Решите уравнения.

58. .       59. .

60. .      61. .

62. .      63. .

64. .      65. .

66. .            67. .

68. .      69. .

70. .

71. .            72. .

73. .   74. .

75.

 

3. Уравнения, однородные относительно  и

 

Определение. Рассмотрим уравнение вида

 

где  - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (1) степени одночленов равны n, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n. Такое уравнение называется однородным относительно  и , а число n называется показателем однородности.

 

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

 решениями которого являются значения x, при которых , т. е. числа . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения (1).

При  получим: ,  и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при ,  и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

.

 

1. Однородные уравнения с показателем однородности 1. При  имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , ,

откуда .

 

Пример 7 6. Решите уравнение .

 

Решение

Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на  получим: .

Ответ: .

 

Пример 7 7. При  получим однородное уравнение вида

.

 

Решение

 

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой  легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: .

Если , то уравнение не имеет решений.

 

Пример 7 8. Решите уравнение .

 

Решение

 

Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . .

 

Ответ: .

 

3. К уравнению вида (1) сводится уравнение

 

 

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

 

В частности, уравнение  сводится к однородному, если заменить d на , тогда получим равносильное уравнение:

.

 

Пример 7 9. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение к однородному:

.

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

. Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: .

.

 

Ответ: .

 

Пример 8 0. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Пусть , тогда получим .

.

Ответ: .

 

Пример 81. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Получили однородное уравнение: .

Пусть ,

,

.

 

Ответ: , .