Сигналы с амплитудной модуляцией

Математическая модель выглядит так:

 

1. ,

где  – связь между амплитудой несущего колебания и информационным сигналом S(t): приращение огибающей пропорционально S(t),

U_m – амплитуда сигнала при отсутствии модуляции,

k – коэффициент пропорциональности,

– полная фаза колебания или мгновенная фаза.

Пусть , где E, Ω, и γ – амплитуда, частота и фаза информационного сигнала.

Тогда .

Величина  есть коэффициент амплитудной модуляции.

Таким образом, в данном случае:

.

При M≤1 имеет место неискаженная модуляция.

При этом:

Отсюда можно получить, что .

Осциллограммы имеют вид

 

 

                   Рис.6. Формирование сигнала с амплитудной модуляцией

 

Основные свойства АМ-сигнала достаточно четко видны из рассмотрения случая однотональной модуляции (т.е. модуляции гармоническим колебанием частоты Ω).

Раскроем предыдущие выражения для АМ-сигнала:

Свойства:

1) помимо несущего колебания в спектре есть ещё две гармонические составляющие,

2) их уровень зависит от М, и при М=1 их амплитуда максимальна и в 2 раза меньше амплитуды несущего колебания,

3) эти составляющие расположены симметрично справа и слева относительно ω_0,

4) при γ=0 фазы боковых составляющих совпадают с фазой несущего колебания. При γ≠0 они симметричны относительно фазы несущего колебания.

       Рис.7. Спектр сигнала с гармонической амплитудной модуляцией

 

Векторные диаграммы для двух моментов времени t' и t'' имеют вид

 

                   Рис.8. Векторные диаграммы сигнала с амплитудной модуляцией

 

Распределение мощности в спектре АМ сигнала

Пусть имеют место следующие обозначения:

При этом мгновенная мощность определяется выражением:

Усреднение на достаточно большом интервале даёт среднюю мощность:

.

При М=1 (100% модуляция) боковые полосы имеют 50% мощности несущего колебания. Так как в боковых полосах содержится полезная информация, то отсюда следует, что при АМ использование мощности передатчика неэффективно.

 

АМ-модуляция сложным сигналом

При сложном модулирующем сигнале имеем:  – его представление в виде ряда Фурье или при наличии другой совокупности гармонических колебаний. При этом:

Здесь М_i – парциальный индекс модуляции.

Тогда спектр АМ-сигнала можно представить так:

 

                               

                           Рис.9. Спектр информационного сигнала

 

  

 

                  Рис.10. Спектр АМ-сигнала при модуляции сложным сигналом

 

Ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению максимальной частоты в спектре модулирующего сигнала.

О перемодуляции

При М>1 имеют место искажения информационного сигнала, т.к. в спектре АМ сигнала появляются дополнительные гармонические составляющие.

 

                 Рис.11. Осциллограмма АМ-сигнала при

 

На этом рисунке есть существенный недостаток:

частота несущего колебания должна быть как минимум в 10 раз превышать частоту  информационного сигнала.

Недостатки амплитудной модуляции:

1) большой излишний расход энергии на несущей частоте,

2) одна и та же полезная информация сосредоточена в двух боковых полосах частот.

 

Балансная модуляция (БМ, АМ-ПН, ДБП)

 

Первый недостаток АМ устраняется полностью или частично, если из спектра АМ сигнала полностью убрать или сильно ослабить несущее колебание:

 

– если убрать полностью несущее колебание, или

– где b₀ = const << 1 – коэффициент ослабления.

 

 

                                 Рис.12. Осциллограмма сигнала с балансной модуляцией

 

 

         

                                Рис.13. Это один из видов балансного модулятора

 

           

                               Рис.14 – Спектр сигнала на входе балансного модулятора

 

     

                  Рис.15 – Спектр сигнала на выходе балансного модулятора.

 

 Данный вид модуляции используется редко, в основном в качестве промежуточных этапов при обработке сигналов. Редко используется потому, что очень быстро был найден вид модуляции, который позволяет устранить и второй недостаток АМ сигнала, а именно

 

Амплитудная модуляция с одной боковой полосой (ОБП)

 

Математическая модель:

1)  – если из спектра АМ сигнала с помощью полосового фильтра (ПФ) выделяется верхняя боковая полоса,

2)  – если выделяется нижняя боковая полоса.

 

Ниже на рисунке представлен спектр .

 

                  

    Рис.16 – Спектр сигнала  при гармонической модуляции и АЧХ полосового фильтра

Используется:

1) для связи (в диапазоне от единиц до сотен МГц),

2) в TV при передаче сигналов изображения.

 

В иностранной литературе этот сигнал называется SSB (single side band).

Таким образом, основные достоинства сигналов S_ОБП(t) – уменьшение в 2 раза занимаемой полосы частот, по сравнению с обычной АМ, и снижение расхода мощности на несущем колебании.

 

Квадратурная амплитудная модуляция (QAM – quadrature amplitude modulation)

В настоящее время широко используется так называемая квадратурная амплитудная модуляция, которая очень похожа на обычную АМ с тем лишь отличием, что в одной и той же полосе частот передается информация от двух независимых источников, но на одной и той же частоте ω₀ с использованием несущих гармонических колебаний, сдвинутых на :

.

При  .

 

Использование данного вида модуляции дает возможность получать те же преимущества перед обычной амплитудной модуляцией, что и амплитудная модуляция с одной боковой полосой.

 

Фазовая модуляция (ФМ)

 

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется полная фаза θ(t) несущего колебания:

, ,

где  – коэффициент пропорциональности.

Если сообщение S(t) есть гармоническое колебание, т.е. , то

,

где – коэффициент или индекс фазовой модуляции.

При этом математическая модель сигнала с фазовой модуляцией имеет вид

.

Для мгновенной частоты этого сигнала имеем:

,

где  – девиация или максимальное отклонение мгновенной частоты сигнала от ω₀.

Таким образом, при фазовой модуляции изменяется также мгновенная частота.

 

Частотная модуляция (ЧМ)

 

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется мгновенная частота:

.

Если , то

,

где  – девиация частоты.

Для полной фазы имеем

,

где – постоянная интегрирования,

– коэффициент или индекс частотной модуляции.

Математическая модель сигнала с частотной модуляцией имеет вид:

.

Различие сигналов с фазовой и частотной модуляциями проявляется только при модуляции сложным сообщением (смотри приведённые ниже рисунки).

 

 

      Рис.17 – Качественное поведение параметров сигналов при фазовой и частотной модуляциях

 

Осциллограмма сигнала с ЧМ имеет вид

 

                          

                                   Рис.18 – Осциллограмма сигнала с ЧМ

 

Фазовая и частотная модуляции имеют общее название "угловая модуляция". Все основные свойства сигналов с угловой модуляцией достаточно четко видны при гармоническом сообщении. При этом оба вида модуляции неразличимы.

 

Спектры сигналов с угловой модуляцией

 

Полагаем , φ₀ и ψ₀ с целью упрощения опускаем. Тогда:

 .

Следует иметь в виду 2 случая.

1.  β_УМ << 1.  В этом случае справедливы соотношения:

                                       

Тогда

.

В спектре – те же частоты, что и при АМ-колебании. Ширина спектра та же, что и у АМ-сигнала и равна .

 

2.  β_УМ >> 1. При этом справедливы следующие разложения:

 

 

Тогда имеем следующее:

 ,

где J_n(o) – функция Бесселя порядка n.

Ширина спектра:

.

Замечание: сигналы с угловой модуляцией получили достаточно широкое распространение, т.к. в условиях действия помех дают возможность передать сообщения по каналу связи с более высокой достоверностью, чем при АМ.

 

 

Лекция 4