Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Характеристики (особенности) сигналов
Cреди сигналов, участвующих в определении электромагнитной обстановки в настоящее время, принимают участие три вида: 1. Аналоговые непрерывные сигналы. 2. Цифровые (дискретные) сигналы. 3. Случайные сигналы (чаще всего – это помехи).
Аналоговые сигналы Математические модели сообщений, сигналов и помех Общая теория ортогональных разложений
Что такое сигнал: математическая модель сигнала представляет собой функциональную зависимость, в котором аргументом является время. Знание математических моделей сигналов даёт возможность сравнивать их между собой, устанавливать тождество и различие и, в конечном счёте, проводить их классификацию. Рассмотрим понятие линейного пространства сигналов Пусть M={S0(t), S1(t), … } есть множество (в общем случае бесконечное) сигналов. Сигналы принято объединять в множество, если они обладают некоторым общим свойством (примеры: 1) всевозможные аналоговые сигналы, отличные от 0 на интервале (t1, t2), 2) прямоугольные импульсы всевозможных амплитуд и одинаковой длительности τи. Задача теории сигналов состоит в исследовании их свойств. Исследование свойств сигналов множества М становится особенно плодотворным, когда удается выражать одни элементы множества, через другие. Но чтобы это делать, следует руководствоваться определенными правилами. Эти правила (аксиомы) нужно ввести. Говорят, что множество М образует вещественное линейное пространство, если для него справедливы следующие аксиомы: 1) любой сигнал S(t) M при любых t принимает вещественные значения; 2) для любых Si(t) M и Sj M существует их сумма Si(t)+Sj(t)= (t) M, причем а) Sj(t)+Si(t)=Si(t)+Sj(t) – свойство коммутативности, б) (Si(t)+Sj(t))+Sk(t)=Si(t)+(Sj(t)+Sk(t)) – свойство ассоциативности; 3) для любого S(t) M и любого вещественого числа а, определен сигнал Sl(t)=a×S(t) M; 4) Множество М имеет один особый нулевой элемент 0, такой, что S(t)+0=S(t) для всех S(t) M. Если допустить в аксиоме 3 умножение на комплексное число, то мы приходим к понятию комплексного линейного пространства.
Координатный базис В линейном пространстве сигналов можно выделить некоторое подмножество сигналов {e0, e1, …}, в котором каждый элемент олицетворяет собой некоторую координатную ось, играя при этом роль некоторой единицы измерения или единичного вектора, вдоль этой координатной оси.
Выделенное подмножество {е0, е1, …}, является весьма полезным, когда входящие в него элементы (векторы) линейно независимы, т.е. равенство справедливо лишь в том случае, когда одновременно все aj=0. Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Рассматривая сигнал S(t) как вектор в линейном пространстве, его можно представить в виде суммы , где числа {c0, c1, …} являются проекциями оси координат или проекциями S(t) относительно выбранного базиса.
Нормированное линейное пространство Пусть L есть линейное вещественное пространство сигналов. Говорят, что пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу S(t) L однозначно поставлено в соответствие некоторое число ||S||, которое называется нормой этого вектора. При этом должны выполнятся следующие аксиомы: 1) норма неотрицательна: ||S||≥0, ||S||=0, когда S=0; 2) для любого числа “а” (оно может быть комплексным) справедливо равенство ||a×S||=|a|×||S||; 3) если Si L и Sj L, то выполняется неравенство треугольника: ||Si+Sj|| ≤ ||Si||+||Sj||. Норму вещественных сигналов определяют как или , для комплексных сигналов , здесь (-∞, +∞) – область существования сигнала, но можно и интервал (t1, t2). Квадрат нормы сигнала носит название энергии сигнала: . Физическая трактовка: именно такая энергия выделяется в резисторе сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах действует напряжение S(t).
Метрическое линейное пространство Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов Si(t) L, Sj(t) L сопоставлено некоторое неотрицательное число d(Si,Sj), называемое метрикой или расстоянием между этими сигналами. При этом должны выполнятся следующие аксиомы: 1) d(Si, Sj)>0, d(, )=0 для любого Si(t) L, 2) d(Si, Sj) = d(Sj, Si) – рефлексивность метрики, 3) для любых 3-х сигналов Si(t) L, Sj(t) L, Sl(t) L, имеет место неравенство (неравенство треугольника) d(Si, Sj) ≤ d(Si, Sl) + d(Sj, Sl).
Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: d(Si, Sj)=||Si-Sj||.
Скалярное произведение сигналов Скалярное произведение двух вещественных сигналов определяется выражениями
(норма сигнала уподобляется модулю вектора), а косинус угла между ними . Свойства скалярного произведения: 1) (, ) ≥ 0, 2) (Si, Sj) = (Sj, Si), 3) (a×Si, Sj) = a×(Si, Sj), где а – вещественное число, 4) (Si+Sj, Sl) = (Si, Sl)+ (Sj, Sl).
Линейное нормированное метрическое пространство с введенным скалярным произведением называется вещественным пространством сигналов Гильберта. Если сигналы комплексные, то введя скалярное произведение сигналов как , мы определяем комплексное гильбертово пространство, при этом (Si, Sj) = (Si, Sj)*.
Ортогональные сигналы и обобщенный ряд Фурье Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение, а следовательно, и их взаимная энергия = 0: – ортогональность с весом (t). Если во введенном ранее нами координатном базисе {e0, e1, …} все векторы ортогональны друг другу, то В этом случае говорят, что в линейном нормированном метрическом пространстве задан ортогональный базис. Если при этом подмножество {e0, e1, …} бесконечно, то введенные нами ранее представления сигнала в виде суммы принимает вид: . Последнее представление сигнала в виде бесконечного ряда называется обобщенным рядом Фурье. Для нахождения коэффициентов этого ряда обе части умножим на произвольную базисную функцию ej(t) и проинтегрируем по области определения множества сигналов: , так как Тогда для вещественных сигналов
Для комплексных сигналов . Если множество векторов, образующих ортогональный базис {e0, e1, …}, таково, что эти векторы имеют единичные нормы, т.е. то говорят, что задан ортонормированный базис. Если ортогональный базис не бесконечен, то говорят не об обобщенном ряде Фурье, а о разложении сигнала S(t) в ряд в заданном ортогональном базисе.
Примеры ортогорнальных базисов
1. Ортогональная система экспоненциальных функций: …, e-j2Ωt, e- jΩt, 1, e jΩt, e j2Ωt, … Функции ортогональны на периоде сигнала Т, при этом . Ряд Фурье имеет вид
и называется комплексным рядом Фурье. Норма базисных функций имеет вид для всех n. Базисные функции ортогональны: =0, . Коэффициенты ряда Фурье: . При этом . С использованием этих формул ряд Фурье приводится к виду . Для коэффициентов ряда и фазовых углов имеют место соотношения: | C -n|=| C n|; Ө-n=-Өn. Можно показать (проверить самим), что любая пара слагаемых комплексного ряда Фурье, симметрично расположенных относительно n=0, с использованием этих свойств в сумме дает одно вещественное колебание. При этом из комплексного ряда Фурье следует тригонометрический ряд Фурье в виде . Известна другая форма записи тригонометрического ряда Фурье: где . Сравнивая оба ряда видим, что ; или ; , для всех n≥0.
2. Тригонометрическому ряду Фурье соответствует ортогональная система тригонометрических функций (эта система приведена в книге [1] И.С.Гоноровского “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1986 г.): 1, cosΩt, sinΩt, cos2Ωt, sin2Ωt, … Интервал ортогональности тот же: . Квадраты нормы базисных функций имеют вид
; . Выбранную ортогональную систему тригонометрических функций можно сделать ортонормированной, если в сами функции ввести поправочные коэффициенты, чтобы нормы функций были = 1 (эта система приведена в книге [2] С.И. Баскакова “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1983 г.):
Замечание: 1) Совокупность коэффициентов | C n| комплексного ряда Фурье с учетом их зависимости от частоты есть амплитудно-частотный спектр сигнала (АЧС):
Рис.1. Амлитудно-частотный спектр сигнала
2) Зависимость фазы членов ряда Фурье от частоты есть фазо-частотная характеристика сигнала (ФЧС). Строится для конкретного сигнала:
Рис.2. Фазо-частотный спектр сигнала
3. Ортонормированная система функций Уолша. Ниже на рисунке в колонке справа приведены 8 первых функций Уолша.
4. Мультипликативно-ортогональный базис. Ниже на рисунке в колонке слева приведены 8 первых функций этого базиса.
Рис.3. Мультипликативно-ортогональный базис (слева) и базис функций УОЛША
Нетрудно убедиться в том, что все базисные функции ортогональны. В настоящее время известно достаточно большое число ортогональных базисов. Так, для представления непрерывных сигналов часто используются ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т.д.
1. Полиномы Лежандра (первого рода) определяются по формуле: , Они ортогональны на интервале (-1, +1). При n-целом полиномы содержат конечное число членов.
2. Полиномы Чебышева (первого рода) определяются по формуле: . Полиномы Чебышева ортогональны с весом " " на интервале (-1, 1):
3. Полиномы и функции Лагерра определяются формулами: Эти полиномы ортогональны на полуоси 0<x<∞ с весом “ ”. Так как полиномы Лагерра расходящиеся, то удобно пользоваться функциями Лагерра , которые ортогональны свесом =1.
4. Полиномы Эрмита определяются формулой . Они ортогональны на всей оси (-∞,∞) с весом : . Более подробно см. [1] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, 1986, гл.14.
Замечание. 1. Среди разнообразных систем ортогональных функций, используемых для представления сигналов, исключительно важное место занимают гармонические функции. Почему? Дело в том, что есть два фактора, определяющие эти свойства. 1) Эти функции технически реализуются наиболее простым способом.
2) Они не изменяют свою форму при прохождении через линейные цепи, изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Раздел теории сигналов, в котором для представления сигналов используются исключительно гармонические функции с различными частотами, называется спектральным представлением сигналов или спектральным разложением сигналов. Представление сигналов в виде рядов по другим системам ортогональных функций носит название «временного представления сигналов».
В технической литературе можно встретить использование ряда Фурье для спектрального представления непериодического сигнала. Суть здесь в следующем. Пусть задан сигнал S(t) на интервале (t1,t2). Чтобы разложить его в ряд Фурье его следует сделать сначала периодическим с некоторым произвольно выбранным периодом Т, а затем разложить в ряд Фурье по уже известным правилам.
Рис.4. Преобразование непериодического сигнала в периодический
При этом следует помнить, что полученный ряд Фурье будет сходится к сигналу на интервале (t1,t2) и не будет сходиться к нему за пределами интервала (t1,t2), т.к. там S(t)=0. От выбранного периода Т будет зависеть вид спектра. Лекция 2
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 213; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.205.223 (0.1 с.) |