Математические модели сообщений, сигналов и помех

Лекция 1

Математические модели сообщений, сигналов и помех

Сигналы и их спектральный анализ.

Лекция 2

Лекция 3

Модулированные сигналы и их характеристики

 

Сигнал называется узкополосным, если отношение ширины спектра сигнала Δω к средней частоте спектра ω_ср удовлетворяет условию:

 .

Если это условие нарушается, сигнал называется широкополосным или сверхширокополосным.

С этой точки зрения все информационные сигналы S(t) являются сравнительно широкополосными и содержат низкие частоты. Пример: речевой сигнал (ширина полосы частот почти вдвое превышает центральную частоту).

Для эффективной передачи по радиоканалам или для частотного уплотнения проводных (или кабельных) линий связи необходим перенос спектра информационного сигнала в область высоких частот так, чтобы выполнялось условие узкополосности:

 .

Для этой цели в передатчике формируется специальный высокочастотный (ВЧ) сигнал, который называется несущим колебанием. Его математическая модель имеет вид

,

где а₁,…,а_n – параметры, определяющие форму этого колебания.

Если хотя бы один из этих параметров изменяется пропорционально передаваемому сообщению S(t), то колебание S_нес(t) выступает уже в качестве переносчика информации.

Физический процесс управления параметрами несущего колебания называется модуляцией.

Наиболее частым и удобным переносчиком является гармоническое колебание. Но используются также и другие переносчики, в частности последовательность импульсов, шум и т.д.

Модуляция – есть нелинейный (или параметрический) процесс, т.к. при модуляции в спектре несущего колебания появляются новые спектральные составляющие.

Запишем несущее гармоническое колебание в виде

 ,

где U_m, ω₀ и φ₀ соответственно амплитуда, несущая частота и начальная фаза колебания.

Если пропорционально информационному сигналу S(t) изменяется амплитуда U_m сигнала, такой сигнал называется сигналом с амплитудной модуляцией, а если – мгновенная частота ω, то имеет место сигнал с частотной модуляцией (ЧМ), ω= ω(t). Если пропорционально информационному сигналу S(t) изменяется полная фаза θ(t), такой сигнал называется сигналом с фазовой модуляцией или ФМ сигналом.

Существуют комбинированные виды модуляции разного рода. Всего видов модуляции очень много (особенно их много в цифровой связи). Пока мы рассмотрим самые простые.

 

Фазовая модуляция (ФМ)

 

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется полная фаза θ(t) несущего колебания:

, ,

где  – коэффициент пропорциональности.

Если сообщение S(t) есть гармоническое колебание, т.е. , то

,

где – коэффициент или индекс фазовой модуляции.

При этом математическая модель сигнала с фазовой модуляцией имеет вид

.

Для мгновенной частоты этого сигнала имеем:

,

где  – девиация или максимальное отклонение мгновенной частоты сигнала от ω₀.

Таким образом, при фазовой модуляции изменяется также мгновенная частота.

 

Частотная модуляция (ЧМ)

 

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется мгновенная частота:

.

Если , то

,

где  – девиация частоты.

Для полной фазы имеем

,

где – постоянная интегрирования,

– коэффициент или индекс частотной модуляции.

Математическая модель сигнала с частотной модуляцией имеет вид:

.

Различие сигналов с фазовой и частотной модуляциями проявляется только при модуляции сложным сообщением (смотри приведённые ниже рисунки).

 

 

      Рис.17 – Качественное поведение параметров сигналов при фазовой и частотной модуляциях

 

Осциллограмма сигнала с ЧМ имеет вид

 

                          

                                   Рис.18 – Осциллограмма сигнала с ЧМ

 

Фазовая и частотная модуляции имеют общее название "угловая модуляция". Все основные свойства сигналов с угловой модуляцией достаточно четко видны при гармоническом сообщении. При этом оба вида модуляции неразличимы.

 

Спектры сигналов с угловой модуляцией

 

Полагаем , φ₀ и ψ₀ с целью упрощения опускаем. Тогда:

 .

Следует иметь в виду 2 случая.

1.  β_УМ << 1.  В этом случае справедливы соотношения:

                                       

Тогда

.

В спектре – те же частоты, что и при АМ-колебании. Ширина спектра та же, что и у АМ-сигнала и равна .

 

2.  β_УМ >> 1. При этом справедливы следующие разложения:

 

 

Тогда имеем следующее:

 ,

где J_n(o) – функция Бесселя порядка n.

Ширина спектра:

.

Замечание: сигналы с угловой модуляцией получили достаточно широкое распространение, т.к. в условиях действия помех дают возможность передать сообщения по каналу связи с более высокой достоверностью, чем при АМ.

 

 

Лекция 4

Корреляционная функция

 

Для узкополосных случайных процессов функция корреляции из общего вида

может быть преобразована к виду

,

где  – медленные функции аргумента ,

F(.) – односторонняя спектральная плотность мощности случайного процесса,

 – центральная частота спектра узкополосного случайного сигнала.

Если спектр  симметричен относительно , то , тогда

,

где  – огибающая корреляционной функции.

 

Корреляционные свойства амплитуд A(t) и B(t)

 

Можно показать, что

 ,

 – взаимная корреляционная функция.

При  имеем, что ,

где – дисперсия самого процесса x(t).

Если  – симметричен относительно , то  и , откуда следует, что огибающие A(t) и B(t) в совпадающие моменты времени независимы.

Тогда совместную ПРВ огибающих A(t) и B(t) можно записать

Если случайный процесс x(t) – гауссовский, то A(t) и B(t) являются тоже гауссовскими, при этом m_A=m_B=0. Тогда совместная ПРВ определяется выражением

.

Найдем совместную ПРВ p(U,φ) (во второй записи узкополосного случайного процесса).

Имеем:

Обратные функции однозначны ():

Якобиан преобразования от случайных величин A и B к случайным величинам U и  имеет вид

.

Тогда

 

.

Отсюда по условию согласованности получим:

.

Таким образом, ПРВ фаза узкополосного случайного процесса равномерна в интервале [-π,π] или [0, 2π]:

                            

 

       Рис.26 – Два вида ПРВ фазы узкополосного случайного процесса

 

С другой стороны

.

Это ПРВ огибающей случайного процесса. Мы вывели распределение Релея.

Если вместе с узкополосным шумом присутствует синусоидальный сигнал, , то суммарный случайный процесс записывается так:

а) по первой модели, по-прежнему:

    ,

б) по второй модели:

    .

Рассмотрим функциональное преобразование:

 ,

.

Обратные функции однозначны:

,

.

Якобиан преобразования от A, B к U,  тот же:

.

Тогда .

Отсюда можно получить одномерные ПРВ:

 – распределение не является равномерным.

.

Это распределение Райса.

При  имеем приближенно

,

т.е. при достаточно больших отношениях сигнал/шум ПРВ огибающей почти гауссовская.

 

Лекция 5

Лекция 1

Математические модели сообщений, сигналов и помех