Спектральное представление сигналов

Спектры непериодических сигналов

 

Комплексный ряд Фурье сигнала S(t) преобразованного таким образом, запишем в виде

.

Устремим к ∞ период повторения Т.

При этом следует отметить два момента:

1) Частоты соседних гармоник nΩ и (n+1)Ω станут как угодно близкими, что дает возможность дискретную частоту nΩ заменить на непрерывную переменную “ω”, т.е. nΩ→ ω.

2) Амплитуды коэффициентов С _n станут неограниченно малыми (из-за Т в знаменателе).

Таким образом при Т→∞ имеет место следующий переход:

1)

2) .

Тогда выражение для коэффициента С _n преобразуются к виду

,

где функция  носит название спектральной плотности непериодического сигнала или прямое преобразование Фурье.

Используя полученное предельное уравнение для коэффициента С _n и понятие спектральной плотности сигнала , преобразуем комплексный ряд Фурье к виду

 .

Таким образом,   есть обратное преобразование Фурье.

Пара преобразования Фурье представляют собой зависимость между временной и частотной областями.

 

Самостоятельно проработать все основные теоремы о спектрах. Их всего семь:

1. Спектральная плотность суммы сигналов.

2. Спектральная плотность сигнала, смещённого во времени.

3. Спектральная плотность производной сигнала.

4. Спектральная плотность интеграла от сигнала.

5. Спектральная плотность сигнала с изменённым масштабом времени.

6. Спектральная плотность произведения двух сигналов.

7. Смещение спектра сигнала (частный, но очень важный случай п.6, когда один из сигналов низкочастотный, а другой – высокочастотный).

 

Замечание. Если , то операция  справедлива только для сигналов, у которых модуль спектральной плотности в нуле = 0, т.е. S₁(0)=0 (модуль спектральной плотности). Это имеет место у сигналов с нулевой площадью: .

В остальных случаях: .

 

Условие существования спектральной плотности сигнала

Спектральная плотность определена выше только для абсолютно интегрируемых сигналов, т.е. сигналов, удовлетворяющих условию:

 .

Такое условие существенно сужает класс сигналов, для которых существует . В этом смысле нельзя говорить о спектральной плотности гармонического сигнала S(t)=U_mcosω₀t, если на него не наложено условие ограниченности во времени.

Математики нашли выход: предложили использовать понятие обобщенных функций и их теорию. К таким обобщенным функциям относится дельта-функция δ(ω). С её использованием можно говорить о спектральной плотности гармонического колебания.

Например: – постоянная составляющая.

      Требуется найти спектр такого сигнала.

В соответствии с общей формулой

.

 

Обобщенная формула Релея

Рассмотрим  понятие "скалярное произведение двух сигналов" в виде

.

Таким образом, нижнее выражение является наиболее общим.

Из выражения  следует .

Последнее выражение подставим в выражение для скалярного произведения двух комплексных сигналов:

.

Таким образом, имеем

                             .

Это и есть обобщенная формула Релея. Она справедлива как для вещественных, так и для комплексных сигналов.

При S₁(t)=S₂(t) имеем выражение для энергии сигнала

.

Величина  называется энергетическим спектром сигнала, а величина

 – взаимный энергетический спектр сигналов, поэтому

.

       Справедливы следующие соотношения сигналов:

                           , .

В последнем выражении функции  отличаются только знаком мнимой части, причём реальные части есть чётные функции, а мнимые части – нечётные, поэтому предыдущее выражение можно записать в виде

       .

Относительная доля энергии сигнала S(t) содержится в некоторой полосе Δω, определяется по формуле:

.

 

Критерии бывают разные:

1) К=0,9 или К=90%,

2) К-0,95 или К=95%,

3) К=0,97 или К=97%

и т.д.

В зависимости от требуемой задачи выбирают тот или иной критерий и определяют требуемую полосу частот для сигнала.

 

Спектр прямоугольного видеоимпульса

Математическая модель:

                                

Спектральная плотность:

= . , 

                                                                                            .   

 

Спектр прямоугольного радиоимпульса

Математическая модель:

 

Спектральная плотность:

 

 

 

Аналитический сигнал и преобразование Гильберта

 

Любой вещественный сигнал S(t) c известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих: одна с отрицательными, а другая с положительными частотами:

 .

Функция

 

названа аналитическим сигналом, который соответствует вещественному сигналу S(t).

Первый из интегралов при замене –ω=ξ преобразуется к виду

 .

Удвоив это выражение, получим:

 –  сигнал, комплексно сопряженный аналитическому.

Из выведенных выражений следует, что

.

Можно показать, что .

Мнимая часть аналитического сигнала называется сигналом, сопряженным по Гильберту по отношению к исходному сигналу:

 

т.е. , а .

Спектральная плотность аналитического сигнала может быть определена по общей формуле:

                        (1)

Это видно из определения аналитического сигнала (умножить и разделить на 2):

.

Пусть – спектральная плотность .

Так как ,

то в силу линейности преобразования Фурье имеем

         .                                                                           (2)

Но тогда с учетом (1) и (2) имеем:

 

и

.

Способ получения сигнала : устройство (квадратурный фильтр) поворачивает на +90⁰ фазы всех составляющих спектра сигнала при <0  и на угол φ= – 90⁰ при >0 (см Баскаков, 88, стр.128):

 

 

                   Рис.5. Формирование сигнала, сопряжённого по Гильберту   

 

 есть произведение  и ” ”, следовательно, сигнал  есть свертка исходного сигнала S(t) и функции f(t), которая определяется выражением:

Тогда  .

Или

 – это и есть прямое преобразование Гильберта.

Обратное преобразование Гильберта имеет вид

,

т.е. они отличаются знаком.

Символическая запись такова:

Интегралы, входящие в преобразование Гильберта, следует понимать в смысле «главного значения»:  

,

т.к. функция «» имеет разрыв при t=τ.

Модуль аналитического сигнала, т.е. | Z _S(t)|,  определяет огибающую сигнала S(t):

.

Аргумент аналитического сигнала есть полная фаза колебания S(t):

 .

Мгновенная частота сигнала S(t) есть производная от полной фазы:

.

Введение понятий аналитического сигнала и преобразований Гильберта дало возможность, в отличие то метода комплексных амплитуд, дать строгие определения понятий “огибающая” и “мгновенная частота” произвольного сигнала S(t).

 

Лекция 3