Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Подходящие дроби, их свойства и применение
В предыдущем параграфе мы установили, что всякую обыкновенную дробь можно представить в виде цепной дроби. Поставим обратную задачу: восстановить по цепной дроби исходную обыкновенную дробь. Рассмотрим цепную дробь . Чтобы найти обыкновенную дробь можно выполнить вычисления, “поднимаясь” по цепной дроби снизу вверх:
; и т. д. Другой, более удобный способ вычисления состоит в использовании подходящих дробей. Определение 13.1. Дроби , , ,…, называются подходящими дробями.
Теорема 13.1. Подходящие дроби несократимы. Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу n –количеству неполных частных, составляющих подходящую дробь. 1) База индукции. Пусть . Дробь, содержащая одно неполное частное , очевидно, несократима. 2) Индукционный переход. Предположим, что утверждение теоремы верно для дроби, состоящей из неполных частных при . Докажем, что тогда и дробь, состоящая из неполных частных при также несократима. Рассмотрим дробь, состоящую из неполного частного: . Эту дробь можно записать в виде: , где . По индукционному предположению дробь несократима, так как состоит из неполных частных. Запишем дробь в виде: . Докажем, дробь несократима, это значит, что числа и p взаимно просты. Предположим, что последнее утверждение неверно: дробь сократима, т. е. . Тогда , где . Из этой системы следует, что , значит d – общий делитель чисел p и q, причем . Это противоречит тому, что числа p и q взаимно просты. Полученное противоречие означает, что сделанное предположение о том, что дробь сократима, неверно. Теорема 13.2. (Закон составления подходящих дробей). Пусть – подходящие дроби. Положим . Тогда для . (13.1) Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу k –номеру подходящей дроби. 1) База индукции. Пусть . Тогда , . Подходящая дробь , это верно. 2) Индукционный переход. Пусть (13.1) верно для : . Заметим, что если представить подходящую дробь в сокращенной записи, то индукционное предположение означает, что утверждение теоремы верно для подходящих дробей с количеством неполных частных, не превосходящем . Докажем, что (13.1) верно также для : .
Поскольку и , при замене в дроби неполного частного на , получим дробь . По индукционному предположению . Заменим на , получим равенство . Преобразуем правую часть этого равенства: . Заменяя выражения в скобках в числителе и в знаменателе в последней дроби на и соответственно, получим равенство . (13.2) Докажем, что из этого равенства дробей следует равенство их числителей и знаменателей. При представлении числа в виде цепной дроби мы использовали алгоритм Евклида, из которого следует, что и . Таким образом, если , то, очевидно, . Подходящая дробь с номером для числа получается отбрасыванием в сокращенной записи неполных частных с номерами большими, чем , то есть содержит неполных частных: . Тогда подходящая дробь для числа содержит неполное частное. Значит, из индукционного предположения следует, что . Таким образом мы получили, что в дробях в правой и левой частей равенства (13.2) знаменатели равны, значит равны и числители. Теорема доказана.
. Количество неполных частных в подходящей дроби равно , значит можно использовать индукционное предположение. Тогда , и отсюда . Таким образом мы получили, что в дробях в правой и левой частей равенства (13.2) знаменатели равны, значит равны и числители. Теорема доказана.
Итак, мы получили рекуррентное соотношение для вычисления подходящих дробей. Выкладки можно проводить, заполняя таблицу:
Пример. Найти рациональное число, равное цепной дроби . Составим таблицу и заполним ее, используя формулы (13.1): Итак, мы получили, что . При помощи закона составления подходящих дробей можно вывести ряд их свойств.
Свойства подходящих дробей
Свойство 1. для . Доказательство. Докажем свойство методом математической индукции по индексу k. 1) База индукции. Пусть . Вычислим , , , . Тогда . 2) Индукционный переход. Пусть свойство верно для : . Докажем, что оно верно и для . Действительно,
Свойство 2. для . Доказательство. Доказательство свойства непосредственно следует из свойства 1. Свойство 3. С увеличением номера подходящие дроби четного порядка увеличиваются, а нечетного порядка уменьшаются. Доказательство. По закону составления подходящих дробей имеем: . Вычислим . По свойству 1 подходящих дробей , отсюда следует, что . Если число k – четное, то , следовательно . Если число k – нечетное, то , и тогда . Свойство 4. Рассмотрим отрезки для . Тогда . Доказательство. По свойству 3 выполняются неравенства: и . По свойству 2 имеем: , следовательно, для четных k справедливо неравенство , а для нечетных k – неравенство . Это значит, что все подходящие дроби с четными номерами меньше всех подходящих дробей с нечетными номерами, откуда и следует справедливость доказываемого утверждения. Следствие. Представим рациональное число в виде цепной дроби и составим ее подходящие дроби. Тогда данное рациональное число заключено между любыми двумя соседними подходящими дробями. Доказательство следствия вытекает непосредственно из утверждения свойства 4. Свойство 5. Последовательность знаменателей подходящих дробей, начинающаяся с , возрастает: . Доказательство. По закону составления подходящих дробей . Докажем утверждение методом математической индукции по индексу k. База индукции. Пусть . Из закона составления подходящих дробей следует, что . Тогда . Поскольку , . Следовательно, . Индукционный переход. Пусть утверждение верно для . Это значит, что . Докажем, что оно верно и для : . По закону составления подходящих дробей . А поскольку , справедливо .
Применение подходящих дробей к решению неопределенных уравнений. Свойства подходящих дробей приводят к еще одному способу решения неопределенных уравнений. Рассмотрим этот способ сначала для частного случая неопределенных уравнений, а именно уравнения вида , (13. 3) при условии . Как было установлено выше, такое уравнение всегда имеет решение. Рассмотрим несократимую дробь и найдем ее представление в виде цепной дроби: . Последняя подходящая дробь , причем . Рассмотрим сначала случай, когда число n нечетное. По свойству 1 имеем: . Тогда – частное решение уравнения. Общее решение уравнения получим так же, как при решении неопределенных уравнений другими способами: , где . Если число n четное, то представим дробь в виде цепной дроби в соответствии с замечанием в конце § 12: . Тогда последнее “неполное частное”, равное 1, имеет нечетный номер, и уравнение можно решать также, как было рассмотрено выше. Рассмотрим теперь общий случай неопределенного уравнения: , (13.4) при условии, что и . В этом случае, как было установлено выше, уравнение имеет решение. Для решения этого уравнения при помощи подходящих дробей сведем уравнение (13.4) к уравнению типа (13.3) и найдем его частное решение при помощи подходящих дробей. Затем так же, как это было сделано выше (см. § 6) найдем общее решение исходного уравнения (13.4).
Итак, разделим обе части уравнения (13.4) на d, получим уравнение , (13.5) где . Уравнение (13.5), очевидно, равносильно уравнению (13.4). Затем рассмотрим вспомогательное уравнение . Решим его при помощи подходящих дробей. Пусть числа составляют его частное решение. Тогда числа составляют частное решение уравнения (13.5), а значит, и исходного уравнения (13.4). Общее решение уравнения (13.4) вычисляется по формуле , где . Примеры. 1) Решить уравнение . Поскольку , уравнение имеет решение. Рассмотрим дробь и представим ее в виде цепной дроби: . В этом случае . Поскольку n – четное число, представим дробь в виде: . Как было установлено выше, частным решением данного уравнения являются знаменатель и числитель предпоследней подходящей дроби. Найдем подходящие дроби, для этого составим таблицу: Выпишем частное решение уравнения: . Тогда общее решение уравнения имеет вид: , где . 2) Решить уравнение . (13.6) Поскольку и уравнение (13.6) имеет решение. Разделим обе части уравнения на 4, получим уравнение, равносильное исходному, . (13.7) Положим , тогда уравнение (13.7) можно записать в виде: . (13.8) Рассмотрим теперь вспомогательное уравнение: . (13.9) Для его решения рассмотрим дробь и представим ее в виде . В этом случае . Поскольку n – четное число, представим дробь в виде: . Найдем подходящие дроби, для этого составим таблицу: Выпишем частное решение уравнения (13.9): . Тогда частное решение уравнения (13.8) имеет вид: , а общее решение этого уравнения: ,где . И, наконец, получим общее решение уравнения (13.7): , где . Упростим полученное решение: , где . Поскольку уравнение (13.7) равносильно уравнению (13.6), полученное решение является также решением исходного уравнения (13.6).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 781; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.9.236 (0.067 с.) |