Представление рациональных чисел конечными цепными

      дробями

Определение 12.1. Целой частью числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a.

Целая часть числа a обозначается .

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел: , где , , причем, при условии, что дробь  – несократима, такое представление единственно. Пусть  – несократимая дробь и . Применим к числам a и b алгоритм Евклида:

Шаг 1. Разделим a на b с остатком:

                           ,                         (12.1)

где . Если остаток , то процесс закончен. Предположим, что . Разделим обе части (12.1) на b, получим

                           .                          (12.2)

Шаг 2. Разделим b на :

                           ,                          (12.3)

где . Если остаток , то процесс закончен. Предположим, что . Разделим обе части (12.3) на , получим

                           .                           (12.4)

Шаг 3. Разделим   на :

                           ,                              (12.5)

где . Если , то процесс закончен. Предположим, что . Разделим обе части (12.5) на , получим

                       .                           (12.6)

Будем продолжать процесс до тех пор, пока на очередном шаге остаток не станет равным нулю. Заметим, что на некотором шаге это должно произойти, так как последовательность остатков – это убывающая последовательность натуральных чисел, а такая последовательность не может содержать бесконечное число членов.

 Предположим, что остаток с номером окажется равным нулю. Тогда процесс закончится на шаге с номером .

Шаг n. Разделим   на :

                           ,                        (12.7)

где , при этом . Разделим обе части (12.7) на , получим

                           .                          (12.8)

Шаг . Разделим   на :

                           ,                           (12.9)

где . Мы предположили, что . Разделим обе части (12.9) на , получим

                           .                                      (12.10)

Вернемся теперь к началу процесса. Из равенства (12.4) получим

                         .                                   (12.11)

Тогда из равенства (12.2) можно получить:

                              .                      (12.12)

Из равенства (12.6) получим

                         .                                 (12.13)

Тогда из равенства (12.12) можно получить:

                              .

Продолжая этот процесс, получим равенство

                                   .  (12.14)

Определение 12.2. Выражение вида , где ,  называется конечной цепной дробью.

Числа при  называются неполными частными.

Сокращенная запись цепной дроби: .

В рассмотренном выше процессе мы представили обыкновенную дробь  в виде цепной дроби для случая, когда . В этом случае неполное частное  является целой частью числа  , при этом .

Теорема 12.1. Всякое рациональное число может быть представлено в

виде конечной цепной дроби, причем единственным образом.

Доказательство. 1) Пусть q – рациональное число. Из определения рационального числа следует, что каждое рациональное число можно записать в виде отношения двух целых взаимно простых чисел, то есть в виде обыкновенной несократимой дроби. Пусть , где .

 Рассмотрим сначала случай, когда . Если при этом , то, как было установлено выше, используя алгоритм Евклида, можно представить дробь в виде , при этом . Если , то, первый шаг в алгоритме Евклида будет иметь вид: . Здесь . Продолжая процесс, получим .

 Рассмотрим случай, когда . Тогда дробь  можно представить в виде: , где , . Представим дробь  в виде цепной дроби: . Тогда представление исходной дроби в виде цепной дроби будет иметь вид: .

    Таким образом, установлено, что любая обыкновенная дробь может быть представлена в виде цепной дроби.

    Заметим, что целое число, само является своей цепной дробью: если , то , в частности, .

2) Единственность представления рационального числа в виде цепной дроби следует из того, что при построении цепной дроби на каждом шаге вычисляются неполные частные при делении двух чисел с остатком, которые определяются единственным образом. Теорема доказана.

    Из доказательства теоремы 12.1 можно сделать вывод о том, что в цепной дроби , составляющие ее неполные частные – целые числа, причем , а может быть как положительным, так и отрицательным и равным нулю.

Примеры. 1) Представить число  в виде цепной дроби. Применим к числам 37 и 15 алгоритм Евклида:

,

,

.

Получим неполные частные , , . Тогда .

2) Представить число  в виде цепной дроби. Целая часть этого числа равна 0, тогда

,

,

,

.

Получим неполные частные , , , , . Тогда .

3) Представить число  в виде цепной дроби. Целая часть этого числа равна . Запишем это число в виде . Тогда, как это было сделано в примере 2, представим число в виде:

. Значит, .

  Замечание. Последнее неполное частное в цепной дроби всегда больше 1. Действительно, если предположить, что , то по формуле (12.9), учитывая, что , получим, что . Но по определению деления с остатком, . Значит, предположение о том, что , неверно.

Из этого замечания следует, что каждую цепную дробь  можно представить в виде:

.