Номинальная и эффективная процентные ставки

В практике финансовых расчетов, как правило, фиксируют годовую процентную ставку, однако начисление сложных процентов происходит по полугодиям, кварталам, месяцам и даже дням. При этом если годовая ставка равна j, а число периодов начисления – m, то за каждый такой период, равный части года, начисляются сложные проценты по ставке . Тогда ставка j называется номинальной.

Годовая ставка j называется номинальной (nominal rate), если соответствующая процентная ставка j за один период начисления длиною  лет составляет                i=  , где m =1,2,3,…..                                                             (2.5)

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

                           S = ,                                        (2.6)

где S – наращенная сумма,    m – число периодов начисления в году,   n – срок в годах.

Эта формула следует из (2.1.) при замене в последней i = j / m и N = m ´ n, где N – общее число периодов.

 

ПРИМЕР 2.4

Найти наращенную сумму и сложные проценты, если 140 тыс. руб. инвестированы на 2 года по номинальной ставке 12 % годовых при начислении процентов: а) по годам, б) по полугодиям, в) по кварталам, г) по месяцам.

РЕШЕНИЕ

m      P=(1+ )^mt                 S                    I=S-P

а). 1      140(1+ )^{1 ´ 2}           175,616            35,616

б). 2      140(1+ )^{2 ´ 2}           176,74677        36,74677

в). 4       140(1+ )^{4 ´ 2}               177,34781        37,34781

г). 12      140(1+ )^{12 ´ 2}                 177,76285        37,76285

Из приведенного примера видно, что при увеличении числа периодов начисления процентов при одной и той же годовой процентной ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же время, увеличивается. Это означает и рост абсолютного годового дохода при увеличении частоты начисления.

Рассмотрим ставку процентов, которая характеризует реальный относительный доход, полученный за год. Такую ставку называют эффективной ставкой процентов. Она показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что m-разовое наращение в год по ставке . Обозначим эффективную ставку через i _эф. Найдем ее из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за 1 год:

(1+ i _эф.)¹=(1+ )^m*1         (n =1).

Отсюда следует, что

                       i _эф.=(1+ )^m-1.                                              (2.7)

Докажем, что формула (2.13) в действительности определяет годовую процентную ставку.

Пусть P, I  и S – основной капитал, проценты за год и наращенное значение соответственно. Тогда за 1 год:

I = S - P = P (1 + )^m-P.

Разделив обе части равенства на P, получим:

, т. е.              (2.7)

ПРИМЕР 2.5

Найти годовую эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 16 % при поквартальном начислении процентов.

РЕШЕНИЕ. j =0,16, m =4.

                                     i _эф. =(1+ )⁴-1=0,17,   т.е. i _эф. =17 %.

Следует отметить, что на практике начисление процентов m раз в год в США производят непосредственно по формуле (2.12). В Европе обычно находят сначала i _эф. по формуле (2.13), а затем по формуле

S = P (1+ i _эф. ) ⁿ

определяют наращенную сумму.

Две номинальные годовые ставки называются эквивалентными, если соответствующие им годовые эффективные ставки совпадают, т.е. если выполняется равенство:

                          .                                      (2.8)

 

ПРИМЕР 2.6

Найти номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24 % с ежемесячным начислением процентов.

РЕШЕНИЕ. Обозначим через j ₂ – процентную ставку, соответствующую начислению по полугодиям, а через j ₁₂ – по месяцам. Так как

,

то j ₂ =(; j ₂ =25%.