Дисконтирование. Учетная ставка

На практике часто решается задача, обратная наращению процентов: так если задана сумма S, которую нужно уплатить через время t, то нужно найти сумму начального капитала P. Например, нужно удержать проценты с суммы S вперед, т. е. при выдаче кредита. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается. Вообще дисконтирование – это процесс определения любой величины, имеющей стоимостной смысл и относящейся к будущему моменту времени, на любой (начальный) момент. Этот процесс можно осуществить, используя уже известную нам процентную ставку наращения i, или так называемую учетную ставку. В первом случае дисконтирование называется математическим, во втором – банковским (коммерческим) учетом. Рассмотрим оба из них.

Математическое дисконтирование.

Наращенное по простым процентам значение S для произвольного момента времени t находится по формуле (1.4) простых процентов

S =Р (I + in).

Обратная задача может быть сформулирована следующим образом: Какую сумму P нужно инвестировать, чтобы спустя срок n получить сумму S? Если ставка, по которой начисляются проценты, равна i, то ответ очевиден:

                                Р = .                                                         (1.10)

В этом случае величину P называют текущим (приведенным, настоящим) значением суммы S, относящимся к будущему моменту времени n.

          (n)= .                                                (1.11)

Множитель называется дисконтным множителем по простой процентной ставке i за период n.

В англоязычной литературе по финансам для обозначения текущего значения употребляется специальное обозначение – PV (S) (сокращенное от present value).  Учитывая (1.11) и (1.10), можно записать как

                     PV (S) = S´ (n).                                              (1.12)

 

График функции (1.10) приведен на рис. 1.4.

 

 

Рис. 1.4

 

Текущее значение играет важную роль в анализе финансовых проблем. Величина PV является основой для сравнения различных финансовых проектов, поскольку позволяет привести различные суммы к одному и тому же моменту времени и сравнивать их по текущей (сегодняшней) стоимости.

 

ПРИМЕР 1.9

Инвестор может купить квартиру за 5 000 долл. наличными или заплатив 5 400 долл. через год. Если у него на счете в банке не менее 5 000 долл. и банк платит 7 % годовых, то какая альтернатива предпочтительнее?

РЕШЕНИЕ. Мы не можем непосредственно сравнивать 5 000 и 5 400 долл., так как они относятся к разным моментам времени. Для того чтобы получить 5 400 долл. в конце года, нужно в начале года инвестировать значение

Р =   долл.

Это есть текущая стоимость величины 5 400 долл., что больше суммы наличными. Значит оплата наличными при данных условиях предпочтительнее.

Замечание. Данный результат, естественно, зависит от процентной ставки. Если бы банк начислял не 7 %, а 9 % годовых, то текущая стоимость 5 400 долл. составила бы

Р =   долл.,

что на 46 долл. меньше оплаты сразу и наличными. В этом случае лучше было бы расплатиться через год.

 

Банковский учет.

Прежде чем ввести понятие банковского дисконта, рассмотрим долговые обязательства. Долговое обязательство – это финансовый документ, удостоверяющий кредитную операцию (например, вексель, депозитный сертификат, облигация и т. п.)

Вексель – (или долговая расписка) является простейшим типом долгового обязательства. Это есть письменное обещание одного лица выплатить определенную сумму денег другому лицу в указанный срок. Эта определенная сумма денег состоит из основной плюс проценты на нее.

Вексель представляет собой именное долговое обязательство, и получить деньги по нему может лишь лицо, на которое вексель выписан. Возможна передача долгового обязательства с помощью переводного векселя. В этом случае круг лиц, участвующих в финансовой сделке, указан явно. Однако существуют долговые обязательства на предъявителя. К ним относятся выпускаемые коммерческими банками некоторые виды депозитныхсертификатов, которые могут свободно покупаться и продаваться на финансовом рынке.

Дисконтом называется скидка с цены товара, курса ценной бумаги, со стоимости погашения долгового обязательства, например, векселя при его продаже до срока погашения.

Банковский учет состоит в том, что банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю (или другому платежному обязательству) приобретает его у владельца по цене, меньшей указанной на векселе суммы, т. е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Рассмотрим следующий пример. Пусть владелец векселя на 100 тыс. руб. и сроком погашения 5 месяцев спустя два месяца с момента получения векселя, нуждаясь в наличных деньгах, продает его банку. Последний учитывает этот вексель, но не за 100, а за 94 тыс. рублей. Тогда дисконт – сумма, взимаемая банком за учет векселя до срока начисления, составляет 100-94=6 тыс. руб. или 6 % от стоимости векселя. В этом случае говорят, что учетная ставка банка составляет 6 %. Относится она к сроку 3 месяца, оставшемуся до погашения векселя.

Таким образом, учетной ставкой за период называется отношение разницы между полной и выкупной суммой векселя, т.е. дисконта, к его полной сумме:

                                 d_n =  ,                                     (1.13)

где S – сумма долга при погашении, Р _n – выкупная (учетная) стоимость;
D_n   – величина дисконта. Значок n показывает, что величина дисконта, учетная ставка и выкупная цена за период оставшийся до погашения, зависит от длительности этого периода.

Из (1.13) следует, что дисконт D_n и выкупная стоимость P_n выражают формулами:

                                 D_n = S ´ d_n.                                            (1.14)

                                  P_n = S (1- dn).                                           (1.15)

Банки обычно указывают учетную ставку за некоторый фиксированный период, как правило, год и последняя учетная ставка называется годовой. Ставка же за период вычисляется так же, как вычисляется процентная ставка за период по годовой ставке, т. е. по формуле

                                     d_n = d ´ n,                                                  (1.16)

где d – годовая учетная ставка;   n – остаток срока до погашения в годах.

Тогда предыдущие формулы примут вид

                       D_n = S ´ d ´ n,                                               (1.17)

                       P_n= S(1-d ´ n),                                            (1.18)

Величина (n) =1- d ´ n  называется дисконтным множителем за период n  по учетной ставке d.

ПРИМЕР 1.10.

Найти годовую учетную ставку и выкупную стоимость векселя за месяц до погашения для приведенного выше примера?

РЕШЕНИЕ. Поскольку в указанном примере учетная ставка за 3 месяца до погашения составляет 6 %, то годовая ставка согласно формуле (1.16) равна

d = .

Здесь n = 3 месяца или ¼ года. Учетная стоимость векселя за месяц то погашения составит.

Р= S (1- d ´ n)= 100(1 - )=98 тыс. руб.

ПРИМЕР 1.11.

Пусть вексель выписан 10 января 2001 г. с датой погашения 10 октября 2001 г. проценты по векселю начисляются исходя из 12 % в год. Если вексель учтен в банке 10 мая 2001 г. по учетной ставке 10 %, то какова учетная стоимость векселя?

РЕШЕНИЕ. Для подсчета длин периодов будем пользоваться банковским правилом. Точное число дней между 10 января и 10 октября 2001 г., согласно данным таблицы Приложения 3, равно 283-10=273 дня.