Тогда наращенная сумма в конце этой операции будет

  .                           (1.25)

С учетом двойного конвертирования множитель наращения, как это видно из (1.25), будет равен

   .                                              (1.26)

Видно, что с увеличением ставки i множитель m увеличивается линейно, тогда как рост курса (К₁/К₀) уменьшает его. (Убедиться в этом можно еще и найдя производную от m по К₁ - ).

 

ПРИМЕР 1.14

Предполагается поместить 1 000 долл. на рублевый депозит на 3 месяца при курсе 28 руб. за 1 долл. в начале срока, 30 руб./ 1 долл. – в конце срока (данные середины 2001 г.). Процентные ставки: i =0,25; j = 0,15.

РЕШЕНИЕ: Найдем

долл.

Прямое же наращение начальной суммы на валютном вкладе дает

  долл.

Видно, что перевод долларов в рубли с последующим наращением менее выгоден, чем прямое применение долларовой процентной ставки. Противоположная ситуация наблюдалась в середине 1990–х годов, когда процентные ставки i составляли от 200 до 250 % в год и гораздо выгоднее было использовать приведенную схему а).

Проанализируем, однако, от чего зависит доходность операции по данной схеме в общем виде. Мерой доходности, естественно, является эффективная ставка простых процентов i _эф., которая должна характеризовать рост суммы P_V  до S_V. Воспользуемся для ее расчета формулой (1.23):

 

.

 

Подставим в эту формулу значение S_v из (1.25):

 

     .                                  (1.27)

 

Пусть отношение курсов валюты

          k.                                                    (1.28)

Зависимость i _{эф .} от k, задаваемая выражением (1.27), представлена на графике (рис. 1.5).

 

 

                        

По данным рис. 1.5 видно, что с увеличением к эффективность падает. При k =1 К₀=К₁ и формула (1.27) дает i _эф. = i. При k >1 (точка а на оси к) i _эф. < i; при k <1 имеем i _эф. > i.

Обозначим к^* - критическое значение k, при котором i _эф. = 0 (точка в на рис. 1.5).

Из формулы (1.27) следует

   ,           .                                (1.29)

Отсюда

               .                                    (1.30)

Если ожидаемые величины к и К₁ превышают свои критические значения, определяемые соответственно формулами (1.29) и (1.30), то описанная операция явно убыточна.

Однако в момент заключения контракта мы не можем знать заранее величину К₁, поэтому полезно оценить максимально допустимое ее значение, при котором никакой дополнительной выгоды не будет. Приравняем множители наращения по валютному вкладу и при двойном конвертировании по схеме а):

         .                                        (1.31)

Отсюда следует, что

         ;          .                             (1.32)

     ПРИМЕР 1.15

Пусть К₀=28 руб./доллар, i =0,25, j =0,15.

Найти величину курса валюты на конец срока в n =3 месяца

ПРИМЕР. Максимально допустимое значение курса составляет

Таким образом, если в начале финансовой операции ожидают, что курс доллара в рублях в конце срока будет меньше 28,67 руб., то выгоднее применить конверсию; если же он будет выше указанной величины, то целесообразнее непосредственное наращение по ставке j.

Вариант б).

В этом варианте трем шагам операции соответствуют три сомножителя:

1) обмен рублей на валюту (множитель 1/   К₀);

2) наращение процентов на эту сумму по ставке процентов j (множитель (1+ jn);

3)обмен валюты на рубли (множитель К₁).

Тогда

           _.                                 (1.33)

Из (1.33) видно, что множитель наращения линейно зависит от процентной ставки j по СКВ. Линейная зависимость этого множителя наблюдается и от конечного курса (или его темпа роста).

ПРИМЕР 1.16

Допустим, на валютном депозите необходимо поместить 1 тыс. руб. Остальные условия из предыдущего примера.

РЕШЕНИЕ. Наращенная сумма в рублях к концу срока составит

Прямое инвестирование в рублевый депозит дает ликвидную сумму

Оценим эффективность операции по схеме б).

Так же, как и в предыдущем случае а), доходность этой операции определяется эффективной ставкой простых процентов:

,           откуда

  .                         (1.34)

 

Зависимость i _эф. (к), приведенная на рис. 1.6 линейна

 

Рис. 1.6

При k =1 из (1.34) следует, что i _эф.= j; при k >1, i _{э ф.}> j; при k <1, i _эф.< j (рис. 1.6).

Критическое значение к^* достигается в точке а на рис. 1.6. (Здесь i _{эф .}=0). Тогда из (1.34) получим к^*(1+ jn)- 1=0 и

                              ;                                              (1.35)    

                              .                                           (1.36)

Минимально допустимая величина к определяется выражением (1.31).

ПРИМЕР 1.17

Найдем минимальный темп роста курса, при котором выгодно двойное конвертирование рублей в условиях предыдущего примера.

РЕШЕНИЕ. По формуле (1.31) находим:

.

Иначе говоря, этот вариант будет эффективным, если ожидаемый прирост курса будет не менее, чем 2,4 % за 3 месяца.

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Формула сложных процентов

Если проценты в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде, то начисленные к концу инвестиционного срока проценты называются сложными. Мы видели, что повторное переоформление вклада ведет к увеличению наращенной суммы. Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в финансовой практике принято выплачивать сложные проценты. Рассмотрим следующий пример.

 

ПРИМЕР 2.1

Пусть 100 тыс. рублей положены на банковский счет на 3 месяца по ставке 10 % в месяц. Найти наращенную по сложным процентам сумму в конце каждого месяца.

РЕШЕНИЕ: 1) Проценты за первый месяц составят:

I = P ´ i =100 ´ 0,1=10 тыс. руб.

Наращенная сумма в конце первого месяца будет равна:

100+10=110 тыс. руб.

2) Проценты за второй месяц будут равны

110 ´ 0,1=11 тыс. руб.

Наращенная сумма в конце второго месяца составит величину, равную

110+11=121 тыс. руб.

3) Проценты за третий месяц составят:

121 ´ 0,1=12,1 тыс. руб.