Отсюда, подставляя (3.4) в (3.2), (3.3), получим:

                                       ;                                         (3.5 а)

                                        .                                        (3.5 б)

Для периода, равного одному году (t=1), из (3.5.) получим соотношения:

                                     ;                                         (3.6. а)

                                  .                                          (3.6.б)

Если единичная сумма инвестируется в начале года под проценты по ставке i, то в конце года проценты на эту сумму составят 1× i, а текущее значение этой величины будет определяться выражениями (3.6). Это означает, что дисконт можно рассматривать как проценты, но уплачиваемые не в конце года (периода), а в начале, поэтому иногда дисконтную ставку называют авансированной процентной ставкой.

Формулы (3.2), (3.3) и (3.5) получены в предположении, что временные базы начисления процентной и учетной ставок одинаковы (напомним, что
n – срок в годах). Если срок ссуды C измеряется в днях, то, подставив в формулы (3.2) и (3.3)  (или ), получим следующие соотношения эквивалентности:

            ; .                                       (3.7)

Если временные базы разные, например, при начислении процентов принята база 365 дней, а для учетной ставки – 360 дней, то

             ;    .                                  (3.8)

ПРИМЕР 3.3

Найти текущую стоимость 100 долл., полученных через год:

а) при процентной ставке 12,5 %;

б) при учетной ставке 12,5 %.

РЕШЕНИЕ.  а) Для процентной ставки 12,5 % имеем:

долл.; i =0,125; n =1 год

и, следовательно,

долл.

                 б) Для учетной ставки 12,5 % имеем:

S =100 долл., d =0,125 долл. t =1 год.

Поэтому

долл.

ПРИМЕР 3.4

Простая годовая процентная ставка равна 15 %. Найти эквивалентные годовые учетные ставки для периодов: а) один месяц; б) полгода.

РЕШЕНИЕ.  а) В этом случае i =0,15, n = .

Если d – соответствующая годовая учетная ставка, то из уравнения эквивалентности (3.5 б)

; d = 14,8 %.

б) Здесь i =0,15; n = .

; d =13,9 %.

ПРИМЕР 3.5

Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки?

РЕШЕНИЕ

По формуле (3.5. а)

или 17,65 %.

 

Из последнего примера видно, что при одинаковых условиях операции d < i. Следует заметить, что отношения эквивалентности между простыми учетной и процентной ставками существенно зависят от срока операции: с увеличением срока разница между d и i тоже увеличивается.

Эквивалентность сложных ставок.

Пусть i_c, d_c и j – сложные процентная, учетная и номинальная ставки, соответственно. Эквивалентность ставок i_c  и j устанавливается так же, как при получении формулы (2.13.) для эффективной ставки, т.е. из формулы 1+ i =(1+ j / m) ^m. Тогда

  ; .                        (3.9), (3.10)

Из формул для сложных процентов (2.8) и для дисконтирования по сложным процентам (2.18) следует связь между сложной процентной ставкой
i и сложной учетной ставкой d_c:

; ;

;

             ; .                         (3.11.), (3.12)

Учитывая, что υ=(1+i_c)^-1, получим из последних формул:

    d_c=iv,    v=1-d_c, i_c-d_c=id_c.           (3.13), (3.14), (3.15)

ПРИМЕР 3.6

При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность ссуды должна составлять 24 % годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов поквартально и ежемесячно?

РЕШЕНИЕ. По формуле (3.10.) получим

; ,

т. е. номинальные ставки равны 22,1 и 21,7 % соответственно.

Эквивалентность простых и сложных ставок

Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками наращения. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения при равенстве начальных P и наращенных S сумм:

 

,

где i_n и i_c  – ставки простых и сложных процентов, n – срок инвестирования. Тогда

       ; .                      (3.16), (3.17)

Заменив в формулах (3.16.) и (3.17.) i _с на j / m, а n = m × t, где t – число лет, m – число раз начисления процентов в году, получим:

    ; .                 (3.18), (3.19)

Для эквивалентности сложной ставки i _с процентов и учетной простой ставки d_n имеем равенства:

; .                    (3.20), (3.21)

Эквивалентность d_n и номинальной сложной ставки j определяется:

;     .                (3.22), (3.23)

ПРИМЕР 3.7

Заменить простую ставку 18 % на сложную годовую ставку, не изменяя финансовых последствий контракта сроком 2 года.

РЕШЕНИЕ. По формуле (3.17) находим эквивалентную сложную ставку:

или 16,6 %.

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок

Эквивалентность между дискретной сложной ставкой i и силой роста определена нами уравнениями (2.25) и (2.26):

 

          ; .                            (3.24), (3.25)

Поскольку

;  .

Тогда

              ; .               (3.26), (3.27)

Аналогично устанавливается эквивалентность между непрерывной ставкой  и номинальной ставкой j сложных процентов:

; .                (3.28), (3.29)

ПРИМЕР 3.8

Какая непрерывная ставка заменит полугодовое начисление процентов по номинальной ставке 20 %?

РЕШЕНИЕ. По формуле (3.29)

.