Способы расчета простых процентов

Обычно к начислению простых процентов прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Если срок задается датами первого и последнего дней, то в формулы (1.3), (1.4) входит отношение числа дней ссуды С к числу дней в году

.

При этом возможны несколько вариантов. Если число дней в году принимается равным 360 дням, то проценты называются обычными, или коммерческими,

;

если дней 365 (366), то проценты называются точными,

.

Очевидно, что при фиксированной годовой процентной ставке обычные проценты больше точных.

Кроме того, существуют два способа вычисления числа дней С для срока инвестирования. Наиболее распространенным является подсчет точного числа дней указанного срока. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней можно найти, используя номера дней в году, приведенные в Приложении. Зная порядковый номер каждого дня N (q_i), срок С между двумя датами д₁ и д₂ вычисляется по формуле

 С=N (q₂) - N (q₁) для обычного года;

С=N (q₂) - N (q₁) + 1 для високосного, если 29 февраля попадает в промежуток между датами.

Приближенное число дней определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням, а их полное число равно N. Тогда число дней С= N ´30 + остаток (число дней неполного месяца).

ПРИМЕР 1.5

Найти точное и приблизительное число дней между 5 марта и 29 сентября 2001 года.

РЕШЕНИЕ. а) по Приложению находим, что 28.09. является 271 днем, а 5 марта – 64 днем в году. Тогда точное число дней

С = 271 – 64 = 207 дней;

           б) поскольку между 5.03. и 28.09. 2001 г. укладываются полных 6 месяцев и остается еще 23 дня (от 5.09. до 28.09.), то приближенное число между этими датами равно:

С = (6 ´ 30) + 23 = 203 дня.

Итак, учитывая приведенные способы расчета точных и обычных процентов, а также точное и приближенное число дней для срока инвестирования, получим следующие четыре метода вычисления простых процентов:

1. Обычные проценты с точным числом дней ссуды.

Используются наиболее часто и называются поэтому банковским правилом ( Banker^’s Rule). Обозначаются как 365/360 или АСТ/360. Метод распространен в ссудных операциях коммерческих банков Франции. При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.

Например, если C = 364, то n = 364/360 = 1,011.

2. Точные проценты с точным числом дней.

Этот способ дает самые точные результаты. Применяется в Великобритании и других странах. Обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ. Используется реже, чем предыдущий способ. 

3. Обычные проценты с приближенным числом дней.

Применяется, когда не требуется большой точности в расчетах. Обозначается как 360/360 и принят в практике коммерческих банков Германии.

4. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Данный метод применяется крайне редко. Можно обозначить как 360/365.

ПРИМЕР 1.6

Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18 % годовых. Какую сумму нужно заплатить в конце срока?

РЕШЕНИЕ. Применим все 4 метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное – 258, приближенное – 255.

1. 365/360:

S =100 000 ´ (1+0,18 ´ )=112 900 руб.

2.  365/365:

S= 100 000 ´ (1+0,18 ´ )=112 723,3 руб.

3. 360/360:

S=100 000 ´ (1+ ´ 0,18)=112 750 руб.

4. 360/365:

S=100 000 ´ (1+ ´ 0,18)=112 575,3 руб.

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Часто встречается ситуация, когда даты начала и окончания ссуды находятся в двух смежных календарных отрезках времени. Очевидно, что начисленные проценты должны быть отнесены к каждому из них, как это иллюстрирует рис. 1.3.

 

Если общий срок ссуды захватывает 2 смежных календарных периода, причем на первый период приходится срок n₁, на второй – n ₂, то

.             (1.6)

 

 

    

 

 

Необходимость деления общей суммы процентов между периодами возникает в бухгалтерском учете, при налогообложении, финансовом анализе деятельности предприятия.

Переменные ставки. При заключении кредитных соглашений часто предполагается, что процентные ставки могут изменяться в разных временных промежутках. Тогда наращенная сумма определяется как

                  ,                               (1.7)

где i_S – ставка простых процентов в периоде S, S =1, 2, … m; n_S  – продолжительность периода; n = .

ПРИМЕР 1.7

При заключении финансового контроля предполагается, что за первый год будет начислено 16 %, а в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 %. Найти множитель наращения за 2,5 года.

РЕШЕНИЕ. По формуле (1.7) получим

.

Реинвестирование. На практике для увеличения эффективности контракта часто прибегают к неоднократному последовательному повторению операции наращения по простым процентам в пределах заданного срока. Такая процедура называется реинвестированием полученных на каждом этапе наращения средств. Тогда наращенная сумма для всего срока будет:

                   ,                                    (1.8)

где i_s  – ставки на s-м периоде, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и процентные ставки не будут меняться со временем, т. е. n ₁ = n ₂ =… n_S = n и i ₁ = i ₂ =… i_S = i, то вместо формулы (1.8) получим

                             ,                                                (1.9)

где m – количество реинвестиций.

ПРИМЕР 1.8

100 тыс. руб. положены 1 января 2001 г. на месячный депозит под 20 % годовых. Операция повторяется 3 раза. Какова наращенная сумма?

РЕШЕНИЕ. а) Точные проценты с точным числом дней:

S =100 (1+ 0,2 ) (1+0,2 )=105,013 тыс. руб.

б) Обычные проценты с приближенным числом дней:

S = 100 (1+0,2 )³=105,084 тыс. руб.