Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10 Пусть дана не ортогональная система векторов . Первый вектор возьмём из старой системы без изменения . Теперь мы должны найти второй вектор , так чтобы он был ортогонален . К вектору нужно прибавить , домноженный на какой-то коэффициент, чтобы подвинуть конец вектора таким образом, чтобы новый изменённый вектор стал ортогонален . Чертёж: , причём . Тогда то есть , тогда . Таким образом, . Далее, рассмотрим вектор , он также изначально может быть не ортогонален векторам и , необходимо прибавить к нему линейную комбинацию, состоящую из них. Ищем в виде , причём так, чтобы было выполнено и .
, причём так как эта часть системы уже была построена как ортогональная (на прошлом шаге). Тогда . Аналогично означает, что . Итак, . Теперь все 3 вектора ортогональны между собой. Аналогично этот процесс можно продолжить и для n векторов.
Пример. Ортогонализовать систему векторов (1,1), (0,2). , . . = . = =
Лекция 14. 26.12.2020.
Ортогональные матрицы. Пусть новый базис также ортонормированный, тогда матрица перехода обладает следующими свойствами: 1) сумма квадратов всех элементов любого столбца равна 1. 2) скалярное произведение двух различных векторов-столбцов = 0. . Такая матрица называется ортогональной матрицей. Лемма. Если ортогональная матрица, то . (Объём параллелепипеда, построенного на ортонормированной системе, равен 1). Теорема. Если ортогональная матрица, то . Доказательство. Умножим = Строка в первой матрице, это бывший столбец (до транспонирования). Таким образом, умножая -ю строку на -й столбец, мы получаем . А если -ю строку умножаем на -й столбец, то это то же самое, что скалярно умножить друг на друга -й столбец на -й столбец в исходной матрице, а это . Тогда , а значит, транспонированная матрица это и есть обратная, что и требовалось доказать.
Примером такой матрицы является матрица оператора поворота: , здесь можно устно проверить, что сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1 (по основному тригонометрическому тождеству), а скалярное произведение 1-го и 2-го столбцов 0. Чтобы найти обратную к ней матрицу, достаточно лишь транспонировать её.
Ещё примеры ортогональных матриц. , .
Аффинное пространство. Пусть - линейное пространство, - некоторое множество точек, при этом каждой упорядоченной паре точек можно поставить в соответствие элемент . Упорядоченную пару точек будем называть вектором, обозначать . Получается, что заданы отображения , . По точке и вектору можно построить 2-ю точку, а по 2 точкам вектор. Если выполняются следующие условия: 1) существует единственный такой, что . 2) . 3) . то построенная таким образом структура называется аффинным пространством. Для любых точек имеет место равенство . 2 типа линейных комбинаций. Барицентрическая комбинация (сумма коэффициентов равна 1). Результат – точка из . Например, , середина отрезка. Множество точек наз. аффинно-независимым, если никакую из них нельзя представить в виде барицентрической комбинации остальных. P = kM+(1-k)N (3-я точка на прямой, MN) – аффинно-зависима. Сбалансированная комбинация (сумма коэффициентов равна 0). Результат – вектор . Например, . Метрическое пространство Пусть - некоторое множество точек. Если каждой паре точек поставлено в соответствие некоторое число , называемое расстоянием между точками и удовлетворяющее аксиомам: 1) , причём из следует , 2) , 3) . (аксиома треугольника). То множество называется метрическим пространством. Если пространство евклидово, то можно превратить в метрическое: .
Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное, смешанное произведение. Скалярное произведение . А сейчас мы научимся с помощью матриц и определителей находить общий перпендикуляр для пары векторов. Векторное произведение. Определение. Вектор называется векторным произведением векторов , обозначается , если выполнены 3 условия: 1) , . 2) Векторы образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. 3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .
Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.
Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей , и вычислить этот определитель. = . Миноры порядка 2 будут координатами нового вектора, который является векторным произведением. Доказательство. 1) Получающийся таким образом вектор ортогонален двум исходным: Если скалярно умножить на , получим: = = 0. Если скалярно умножить на , получим: = = 0. Докажем также тот факт, что . Квадрат модуля векторного произведения равен сумме квадратов миноров координат такого вектора: То есть величине = = + В то же время = = = = = + + + . Сократив то, что выделено в больших скобках, получаем одно и то же выражение. - - - Перерыв - - - Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3) = = . Ответ (1,-2,1). Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0). Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.
Пример без координат (по свойствам). Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 градусов. Найти | [a,b] |. Решение. = = = = = . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так: = = = 50. Ответ. 50.
Смешанное произведение. Определяется так: . Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа. Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: . Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится , то есть 1-я координата векторного произведения умножается на 1-ю координату вектора , 2-я на 2-ю и т.д. то есть это и есть . Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 447; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.122.46 (0.005 с.) |