Пересечение и сумма подпространств.

Определение. Пусть .

1)   называется пересечением подпространств

2)  называется суммой подпространств.

Теорема 3. Пересечение и сумма подпространств являются подпространствами.

Доказательство.

1) Если , то одновременно , . Так как  подпространство, то , . При этом  тоже подпространство, так что , . Таким образом,

, , а значит, по критерию подпространства,

 подпространство.

2) Если , то каждый из этих элементов представляется в виде:  , , где , .  

В таком случае  = , каждое из  подпространство, значит, , , то есть .

Если , то . 

 

Теорема 4. О размерности суммы подпространств.

Пусть , . Тогда: . 

Доказательство.    Пусть , , .

Выберем базис  пространства . Все эти векторы образуют ЛНС и принадлежат . Тогда, по теореме о продолжении базиса, можно найти такие векторы ,что система

 является базисом в . Но так как размерность , то . 

Аналогично, все векторы   лежат в , значит, и там можно достроить до базиса: . Но так как размерность , то . 

,  . 

Есть 3 системы:

 (1) базис в , 

 (2) базис в ,

 (3) возможно, базис в . (докажем).

Докажем, что система  является базисом в пространстве .

1) Докажем, что она ЛНС. Предположим, что она ЛЗС, т.е.

, 

где вектор . Но тогда он равен

 . Значит, этот вектор принадлежит пересечению .  Но тогда в его выражении отсутствуют слагаемые , т.е. .

Тогда . Но система  - базис в , т.е. ЛНС, тогда и , т.е. вообще все эти коэффициенты 0. То есть, эта система ЛНС.

2) Докажем, что любой вектор , где ,  линейно выражается через эту систему (3).

Вектор  линейно выражается через (1), при этом (1) входит в (3), значит,  выражается через (3).

Вектор  линейно выражается через (2), при этом (2) входит в (3), значит,  выражается через (3).  выражаются через (3), значит,

 выражается через (3).

Итак, (3) ЛНС и через неё выражается любой вектор, значит, это базис. Вспомним, что количество векторов в нём   и равно

 = . 

 

- - - Перерыв - - -

Определение прямой суммы.

Сумма подпространств  называется прямой суммой, если представление любого вектора, принадлежащего , в виде суммы  является однозначным.

Обозначение: .

 

Теорема 5. (о прямой сумме подпространств).

Сумма  является прямой суммой .   

Доказательство.

Необходимость. Пусть сумма является прямой суммой, но . Тогда некоторый ненулевой вектор .

Пусть . При этом представление вектора неоднозначно, например, он также представим в виде , где первая компонента , вторая . Действительно, ведь ,  , поэтому , .   

Достаточность. Пусть , но при этом есть 2 представления вектора: , где . Но тогда вектор

 принадлежит , однако , поэтому  и представление единственно.   

 

Теорема 6. Сумма подпространств является прямой суммой  тогда и только тогда, когда .  

Доказательство.    Необходимость. 

По теореме 4, . По прошлой теореме 5, если сумма прямая, то . Тогда , и

.

Достаточность. Так как , то  означало бы , т.е. это 0-мерное пространство, т.е. , тогда по Т.5. сумма прямая.

 

Пример. Всякое векторное пространство является прямой суммой своих подпространств, равных линейным оболочкам ,..., .

Упражнение. Сколько векторов содержит линейное пространство векторов-строк длины n над полем ? (p простое число).

Если каждая координата имеет вид . Если  координат, то общее число векторов . 

Например, над полем ,  =  . 

, ,

, ,

, ,

Линейная зависимость над конечным полем.

Коллинеарные векторы +  =  = , впрочем, они остаются ЛЗ и по старой причине:  = . 

Однако, здесь образуют ЛЗС и векторы , : 

 +  =  = .

 и  коллинеарны над : 

При этом определитель: 

.

Рассмотрим векторы , . Их линейная комбинация , где . 

.

В этом случае для линейной комбинации строк матрицы, где одна строка матрицы умножается на , другая на , все координаты делятся на , т.е. вектор . Строки ЛЗ, определитель 0.

Пример прямой суммы не векторных подпространств.

Упражнение. Доказать, что  – линейное пространство всех матриц порядка n над полем , является прямой суммой двух подпространств:  всех симметрических матриц и  – всех кососимметрических матриц. . 

 

Рассмотрим матрицы  и . 

1) Матрица  является симметрической: на месте  останутся , на прочих местах: .  

2) Матрица  является кососимметрической, , . 

При этом  = . 

Например,  =  +  . 

 

Лекция 13. 21.12.2020.