Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка  и 2 направляющих вектора  ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Обозначим координаты направляющих, например, так:  и .

Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор  (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов ,  образует линейно-зависимую систему (ЛЗС).

Тогда определитель равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z. 

Вывод уравнения прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Пусть дана точка  с координатами и направляющий вектор :

Пусть  произвольная точка  с координатами  лежит на этой же прямой.   Тогда  и  линейно зависимы, то есть ранг следующей матрицы равен 1:

другими словами, их координаты - пропорциональны, т.е.    тогда получим: 

.

Это канонические уравнения прямой в пространстве.

Теорема о замене.

Пусть в пространстве  над полем  заданы 2 системы векторов:

(1) и   (2). Если каждый вектор системы (1) линейно выражается через систему (2), то будет говорить, что система (1) выражается через (2), обозначается . 

Если  и , то системы (1) и (2) называются эквивалентными, . 

Свойства эквивалентности:

1) .  

2) если  то .

3) если  и , то .

Лемма. Если  и вектор , то .

Доказательство.

Если , то . Но при этом , а значит, , то есть каждый вектор системы (1) можно представить в виде линейной комбинации векторов (2).

Тогда  а в таком случае, можно перегруппировать слагаемые и получить

, то есть .

Теорема о замене (Штейница). Пусть в пространстве  над полем  заданы 2 системы векторов:   (1) и   (2).  Пусть система (1) линейно независима и линейно выражается через (2). Тогда:   1) ;    

2) Из системы (2) можно удалить  векторов, так, что оставшиеся векторы, вместе с векторами системы (1) составляют новую систему, эквивалентную (2).

Доказательство. 1) База индукции. Пусть . Система (1) имеет вид . Тогда во-первых очевидно, что , так как (2) содержит хотя бы один вектор.

 линейно выражается через , то есть существуют коэффициенты, не все равные 0, так что . Пусть в этом равенстве  - наименьший индекс, для которого , т.е. . Тогда можно вектор  выразить через систему векторов  (3): 

. Итак, . 

Докажем, что .

Сначала докажем, что .

 выражаются через (3), так как они принадлежат этой системе (достаточно взять один коэффициент 1, другие 0). А то, что  установлено выше.

(2)

(3)

Теперь докажем, что .

 выражаются через (2), так как принадлежат ей.

 тоже выражается через (2) - это по исходному предположению индукции. Итак, . 

 

2) Индукционный шаг. Пусть при  утверждение верно. Тогда существует система

 (4),

эквивалентная (2). При этом в ней уже заменено  векторов, причём с точностью до перенумерации векторов  в системе (2).

Вектор  линейно выражается через (2), а значит, и через (4), так как

.  

           . 

Здесь хотя бы один из коэффициентов  отличен от 0, иначе бы

 выражался через , что противоречило бы линейной независимости системы (1).

Значит, какой-то один из векторов  имеет ненулевой коэффициент (пусть для определённости это будет , иначе произведём перенумерацию) а значит, его можно выразить через систему       (5)

(его перенести влево, а  вправо и поделить на коэффициент, точно так же, как делали в базе индукции).

Итак, есть две системы: 

 (4)

 (5)

где Вектор  линейно выражается через (4), а  через (5). Все прочие векторы этих систем, очевидно, выражаются через другую систему, так как принадлежат ей (один коэфф. 1, прочие 0). Итак, , но при этом было , значит, . 

Итак, возможность замены доказана.

       Осталось показать, что . Пусть, напротив, . Тогда на каком-то этапе замены, в системе (2) уже все векторы заменены на векторы из системы (1) (причём проведено  замен). Тогда при замене -го вектора мы столкнулись бы с тем, что  линейно выражается через систему , то есть через подсистему системы (1). Но если какой-то вектор системы (1) линейно выражается через другие векторы этой же системы, это противоречит линейной независимости системы (1), которая по условию теоремы выполняется.

Следствие. Две эквивалентные системы состоят из одного и того же количества векторов.

Если  и , как в теореме выше, то  и  одновременно, а значит, . 

Терминология для бесконечных систем элементов. Пусть дана  (1) бесконечная система элементов линейного пространства . Система (1) называется линейно зависимой, если в ней найдётся конечная линейно зависимая подсистема. Система называется линейно независимой, если всякая её конечная подсистема линейно независима.

Пример. Множество  ЛНС. Любая конечная подсистема ЛНС.